"Чистая"
и прикладная математика

Вынесение множителя за скобки: объяснение и примеры

Вынесение множителя за скобки: основы

Вынесение множителя за скобки применяется для разложения многочлена на множители. Для этого нужно сначала каждое слагаемое многочлена заменить произведением двух множителей. Например, в мночлене у каждого слагаемого есть общий множитель . Поэтому этот мночлен можно представить так:

.

Теперь это выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых общий множитель , а второй - сумма , которая заключается в скобки:

.

Таким образом, общий множитель был вынесен за скобки и в результате этого тождественного преобразования первоначальное выражение представлено в виде другого, тождественного ему:

.

Вынесение общего множителя за скобки применяется, например, при тождественных преобразованиях дробей (сокращение дробей, приведение к общему знаменателю), при решении уравнений и в других задачах.

Пример 1. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

.

Общим множителем является 7a. Выносим его за скобки и получаем:

.

Пример 2. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

.

Общим множителем является −5a. Выносим его за скобки и получаем:

.

Пример 3. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

.

Общим множителем является 3ax. Выносим его за скобки и получаем:

.

Пример 4. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

.

Общим множителем является x. Выносим его за скобки и получаем:

.

Пример 5. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

.

Общим множителем является a. Выносим его за скобки и получаем:

.

Пример 6. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. Чтобы во вторых скобках получить a−c, умножаем y на −1 и получим

.

Общим множителем является x−y. Выносим его за скобки и получаем:

.

Способ группировки при вынесении множителя за скобки

Законы сложения позволяют группировать слагаемые в выражении любым способом. Иногда удается получить такую группировку, которая позволяет вынести за скобки общие множители.

Пример 7. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. Произведем группировку следующим образом:

.

В первой группе вынесем за скобку общий множитель , во второй - множитель 5. Получим:

.

Теперь многочлен x−3 как общий множитель вынесем за скобку. Итак:

.

Пример 8. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. Здесь никакая группировка не приведёт к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какое-то слагаемое в виде некоторой суммы, после чего удается сделать удачную группировку. В нашем примере целесообразно представить −5x в виде суммы −2x−3x и разнести её слагаемые по разным скобкам:

.

В каждой скобке можно заметить общий множитель x−2:

.

Выносим его за скобки и получаем

.

Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 9. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Пример 10. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Правильные решения примеров 9 и 10.

Пример 11. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Пример 12. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Правильные решения примеров 11 и 12.

Другие темы в блоке "Школьная математика"