Вынесение множителя за скобки: объяснение и примеры
Вынесение множителя за скобки: основы
Вынесение множителя за скобки применяется для разложения многочлена на множители.
Для этого нужно сначала каждое слагаемое многочлена заменить произведением двух множителей.
Например, в мночлене 
у каждого слагаемого есть общий множитель 
.
Поэтому этот мночлен можно представить так:
.
Теперь это выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один
из которых общий множитель ,
а второй - сумма 
,
которая заключается в скобки:
.
Таким образом, общий множитель был вынесен за скобки и в результате этого тождественного преобразования первоначальное выражение представлено в виде другого, тождественного ему:
.
Вынесение общего множителя за скобки применяется, например, при тождественных преобразованиях дробей (сокращение дробей, приведение к общему знаменателю), при решении уравнений и в других задачах.
Пример 1. Вынести множитель за скобки в выражении
.
Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:
.
Общим множителем является 7a. Выносим его за скобки и получаем:
.
Пример 2. Вынести множитель за скобки в выражении
.
Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:
.
Общим множителем является −5a. Выносим его за скобки и получаем:
.
Пример 3. Вынести множитель за скобки в выражении
.
Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:
.
Общим множителем является 3ax. Выносим его за скобки и получаем:
.
Пример 4. Вынести множитель за скобки в выражении
.
Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:
.
Общим множителем является x. Выносим его за скобки и получаем:
.
Пример 5. Вынести множитель за скобки в выражении
.
Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:
.
Общим множителем является a. Выносим его за скобки и получаем:
.
Пример 6. Вынести множитель за скобки в выражении
.
Решение. Чтобы во вторых скобках получить a−c, умножаем y на −1 и получим
.
Общим множителем является x−y. Выносим его за скобки и получаем:
.
Способ группировки при вынесении множителя за скобки
Законы сложения позволяют группировать слагаемые в выражении любым способом. Иногда удается получить такую группировку, которая позволяет вынести за скобки общие множители.
Пример 7. Вынести множитель за скобки в выражении
.
Решение. Произведем группировку следующим образом:
.
В первой группе вынесем за скобку общий множитель ,
во второй - множитель 5. Получим:
.
Теперь многочлен x−3 как общий множитель вынесем за скобку. Итак:
.
Пример 8. Вынести множитель за скобки в выражении
.
Решение. Здесь никакая группировка не приведёт к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какое-то слагаемое в виде некоторой суммы, после чего удается сделать удачную группировку. В нашем примере целесообразно представить −5x в виде суммы −2x−3x и разнести её слагаемые по разным скобкам:
.
В каждой скобке можно заметить общий множитель x−2:
.
Выносим его за скобки и получаем
.
Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 9. Вынести множитель за скобки в выражении
.
.Пример 11. Вынести множитель за скобки в выражении
.
.| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
