"Чистая"
и прикладная математика

Скалярное произведение векторов: теория и решения задач

Определения скалярного произведения двух векторов через угол между ними

Скалярное произведение векторов - формула и геометрическое изображение составляющих

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 1:    (1)

Можно встретить и другое название скалярного произведения векторов: внутреннее произведение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Сформулируем другое определение скалярного произведения двух векторов, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 2:

   (2)

или

   (3)

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены "на блюдечке с голубой каёмочкой", то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Решение:

Определение скалярного произведения векторов через координаты перемножаемых векторов

Определение 3. Скалярное произведение двух векторов - это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

Скалярное произведение векторов на плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

Скалярное произведение векторов в пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Свойства скалярного произведения векторов

Алгебраические свойства скалярного произведения векторов

  (переместительное свойство: от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется)

  (сочетательное относительно числового множителя свойство: скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель)

  (распределительное относительно суммы векторов свойство: скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор)

(скалярный квадрат вектора больше нуля), если - ненулевой вектор, и , если - нулевой вектор.

Геометрические свойства скалярного произведения векторов

В определении скалярного произведения векторов мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие, прежде чем рассматривать геометрические свойства скалярного произведения векторов.

Рисунок к пояснению о том, какой угол считать углом между двумя векторами

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла - φ1 и φ2. Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π, то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ1.

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами - прямой (90 градусов или π/2), если скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое - меньше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно.

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое - больше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Пример 2. Доказать, что вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору

Решение. Векторы ортогональны (перпендикулярны), если скалярное произведение этих векторов равно нулю. Перемножим векторы и как многочлены:

.

Вывод: скалярное произведение векторов равно нулю: ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.


Пример 3. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Векторы ортогональны (перпендикулярны), если скалярное произведение этих векторов равно нулю. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

.

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство скалярного произведения векторов нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Через скалярное произведение векторов мы получили значение λ, при котором векторы ортогональны.


Пример 4. Даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Векторы даны в координатах, поэтому скалярные произведения векторов будем вычислять путём сложения произведений соответствующих координат.

.

Скалярное произведение векторов отрицательно, поэтому эти векторы образуют тупой угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

.

Скалярное произведение векторов равно нулю, поэтому эти векторы образуют прямой угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

Решить задачу на скалярное произведение векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Даны длины векторов и , a угол между этими векторами равен π/4. Определить, при каком значении μ векторы и взаимно перпендикулярны.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Матричное представление скалярного произведения векторов и произведение n-мерных векторов

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца:

Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц:

Результат тождественен скалярному произведению векторов: оно является одним единственным числом, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов - произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Пример 6. Найти скалярные произведения пар векторов

и

,

используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

Аналогично представляем вторую пару векторов и находим их скалярное произведение:

Как видим, скалярные произведения получились те же, что и у тех же пар векторов из примера 4.


Угол между двумя векторами

Чтобы выразить скалярное произведение двух векторов

                              (1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины вектора. Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

 

Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:


Пример 7. Даны три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

,

.

По формуле косинуса угла между векторами получаем:

Следовательно, .


Пример 8. Даны два вектора

и

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

Решение.

1.Сумма

2.Разность

3.Длина

4.Скалярное произведение

5.Угол между и :

Решить задачи на скалярное произведение векторов самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 9. Определить, какой угол (острый, тупой или прямой) образуют векторы и .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 10. Определить угол треугольника ABC при вершине A, если , , .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 11. На векторах и построен параллелограмм. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, если , , угол между векторами .

Посмотреть правильное решение и ответ.


Пример 12. Среди векторов

Найти а) коллинеарные; б) ортогональные.

Решение.

а) проверим пропорциональность соответствующих координат векторов - условие коллинеарности (повторение материала предыдущей части темы "Векторы").

Для векторов и :

 

Равенство не выполняется.

Для векторов и :

Равенство выполняется.

Для векторов и :

Равенство не выполняется.

Наше исследование показало, что коллинеарны векторы и .

б) найдём скалярные произведения векторов.


Наше исследование показало, что ортогональны векторы и и и .

Применения скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов для расчёта работы постоянной силы

Скалярное произведение двух векторов используется для расчёта работы постоянной силы.

Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из начала координат в конец вектора B под действием постоянной силы F = A, образующей угол с перемещением S = A. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы F = B на вектор перемещения S = A.

Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии. Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов - фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры?

Экономический смысл скалярного произведения векторов

В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p
на вектор объёма проданных товаров x . Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных товаров x при ценах p . Например, если объём всех товаров, проданных предприятием, выражается вектором x = (400; 750; 200; 300), элементы которого означают соответственно количество товаров различных групп, а цены в одних и тех же денежных единицах заданы в соответствующем порядке вектором p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), то скалярное произведение

выражает суммарную стоимость всех товаров x .

Поделиться с друзьями

Начало темы "Векторы"
Продолжение темы "Векторы"