Базис системы векторов. Разложение вектора по базису. Аффинные координаты
Понятие базиса системы векторов
Тема базиса системы векторов связана с понятием линейной независимости векторов и линейной комбинации.
Определение 1. Три линейно независимых вектора (система векторов) 
, 
и 
образуют в пространстве базис, если любой вектор 
может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , и ,
т.е. если для любого вектора найдутся такие вещественные числа
, 
и 
,
что справедливо равенство
. (2)
Аналогично определяется базис на некоторой плоскости.
Определение 2.. Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора (система векторов) и
образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в этой же плоскости вектор
может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и ,
т.е. если для любого лежащего в этой плоскости вектора
найдутся такие вещественные числа и ,
что справедливо равенство
. (3)
Справедливы следующие утверждения:
1) любая тройка некомпланарных векторов , и
образует базис в пространстве,
2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов и
образует базис на этой плоскости.
Определение 3. Векторное пространство называется n-мерным, если в нём существует в точности n линейно независимых векторов.
Базисом n-мерного пространства называется любая система из n независимых векторов этого пространства.
Пример 1. Доказать, что векторы
образуют базис в четырёхмерном пространстве.
Решение. Система векторов образует базис, если: 1) количество векторов равно размерности пространства; 2) эти векторы линейно независимы. Первое требование выполнено, остаётся доказать, что эти векторы линейно независимы. Попытаемся составить из них линейную нулевую комбинацию:
Подставим в это равенство вместо данных векторов их выражения в координатах и преобразуем левую часть:
или
Но вектор является нулевым, когда все его проекции равны нулю, т.е.
Таким образом, из данных векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, у которой хотя бы один коэффициент был отличен от нуля. Поэтому векторы
линейно независимы и, следовательно, образуют базис в четырёхмерном пространстве.
Разложение вектора по базису
Итак, пусть , и -
произвольный базис в пространстве, т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов. Тогда для любого вектора
найдутся такие вещественные числа
, и ,
что будет справедливо равенство
. (2)
Принято называть равенство (2) разложением вектора по базису
, , , а числа
, и -
координатами вектора относительно базиса
, , .
Аналогичным образом определяется разложение вектора по базису на плоскости: базис образуется двумя векторами, а координат разложенного по базису вектора также две.
Теорема 6. При сложении двух векторов 
и 
их координаты
(относительно любого базиса , , ) складываются:
.
При умножении вектора
на любое число 
все его координаты умножаются на это число:
.
Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами - координатами этих векторов.
Пример 2 Разложить вектор
по базису 
где
Решение. Рассматриваемые векторы принадлежат двумерному пространству: базис в этом пространстве должен состоять из двух векторов. В примере 7 установлено, что векторы
и
линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Запишем разложение вектора 
по этому базису:
Чтобы найти значения 
и 
, подставим в это разложение выражения векторов 
, 
и 
через координаты:
Выполнив преобразования в правой части равенства, получим
или
Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат, т.е.
откуда
Следовательно, разложение вектора 
по базису 
, 
имеет вид
Замечание. В каждом векторном пространстве существует бесконечное множество различных базисов и в различных базисах один и тот же вектор имеет различные разложения (подобно тому, как точка имеет различные координаты в различных системах коорднат).
Аффинные координаты
Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , , и
некоторой точки O, называемой началом координат.
Аффинными координатами любой точки M называются координаты вектора
(относительно базиса , , .)
Так как каждый вектор
может быть, и притом единственным способом, разложен по базису , , ,
то каждой точке пространства M однозначно соответствует тройка аффинных координат
, , .
Декартовы прямоугольные координаты являются частным случаем аффинных координат, соответствующим тройке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Векторы
Поделиться с друзьями
