"Чистая"
и прикладная математика

Базис системы векторов. Разложение вектора по базису. Аффинные координаты

Понятие базиса системы векторов

Тема базиса системы векторов связана с понятием линейной независимости векторов и линейной комбинации.

Определение 1. Три линейно независимых вектора (система векторов) , и образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , и , т.е. если для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что справедливо равенство

.   (2)

Аналогично определяется базис на некоторой плоскости.

Определение 2.. Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора (система векторов) и образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в этой же плоскости вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и , т.е. если для любого лежащего в этой плоскости вектора найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство

.   (3)

Справедливы следующие утверждения:

1) любая тройка некомпланарных векторов , и образует базис в пространстве,

2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов и образует базис на этой плоскости.

Определение 3. Векторное пространство называется n-мерным, если в нём существует в точности n линейно независимых векторов.

Базисом  n-мерного пространства называется любая система из n независимых векторов этого пространства.


Пример 1.  Доказать, что векторы

образуют базис в четырёхмерном пространстве.

Решение. Система векторов образует базис, если: 1) количество векторов равно размерности пространства; 2) эти векторы линейно независимы. Первое требование выполнено, остаётся доказать, что эти векторы линейно независимы. Попытаемся составить из них линейную нулевую комбинацию:

Подставим в это равенство вместо данных векторов их выражения в координатах и преобразуем левую часть:

или

 

Но вектор является нулевым, когда все его проекции равны нулю, т.е.

Таким образом, из данных векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, у которой хотя бы один коэффициент был отличен от нуля. Поэтому векторы

линейно независимы и, следовательно, образуют базис в четырёхмерном пространстве.


Разложение вектора по базису

Итак, пусть , и - произвольный базис в пространстве, т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов. Тогда для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что будет справедливо равенство

.   (2)

Принято называть равенство (2) разложением вектора по базису , , , а числа , и - координатами вектора относительно базиса , , .

Аналогичным образом определяется разложение вектора по базису на плоскости: базис образуется двумя векторами, а координат разложенного по базису вектора также две.

Теорема 6. При сложении двух векторов и их координаты (относительно любого базиса , , ) складываются:

.

При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число:

.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами - координатами этих векторов.


Пример 2 Разложить вектор

по базису где

Решение. Рассматриваемые векторы принадлежат двумерному пространству: базис в этом пространстве должен состоять из двух векторов. В примере 7 установлено, что векторы

и

линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Запишем разложение вектора по этому базису:

Чтобы найти значения и , подставим в это разложение выражения векторов , и через координаты:

Выполнив преобразования в правой части равенства, получим

или

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат, т.е.

откуда

Следовательно, разложение вектора по базису , имеет вид


Замечание. В каждом векторном пространстве существует бесконечное множество различных базисов и в различных базисах один и тот же вектор имеет различные разложения (подобно тому, как точка имеет различные координаты в различных системах коорднат).

Аффинные координаты

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , , и некоторой точки O, называемой началом координат.

Аффинными координатами любой точки M называются координаты вектора (относительно базиса , , .)

Так как каждый вектор может быть, и притом единственным способом, разложен по базису , , , то каждой точке пространства M однозначно соответствует тройка аффинных координат , , .

Декартовы прямоугольные координаты являются частным случаем аффинных координат, соответствующим тройке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Векторы

Поделиться с друзьями

Начало темы "Векторы"
Продолжение темы "Векторы"