"Чистая"
и прикладная математика

Линейная зависимость векторов. Линейные комбинации векторов

Понятие линейной комбинации векторов

Линейная комбинация - это сумма векторов, умноженных на некоторые числа. Эти векторы могут иметь разное направление.

То есть, линейная комбинация - это выражение вида

,

где - какие угодно вещественные числа.

На рисунке сверху - линейная комбинация, представленная вектором , являющимся суммой векторов и , умноженных соответственно на 2 и 3.

Векторы являются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулю и хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля.

Общие условия линейной зависимости векторов

Определение 1. Векторы , , ..., называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов , , ..., с указанными числами обращается в нуль, т.е. имеет место равенство

.

Векторы , , ..., , не являющиеся линейно зависимыми, будем называть линейно независимыми.

Определение 2. Векторы , , ..., называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.

Теорема 1. Если хотя бы один из векторов , , ..., является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми.

Теорема 2. Если среди n векторов какие-либо (n - 1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Линейные комбинации двух векторов

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Следствие 1. Если векторы и коллинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались линейно зависимыми).

Линейные комбинации трёх векторов

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность.

Следствие 1. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы и , для любого вектора , лежащего в одной плоскости с векторами и , найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство

.

Следствие 2. Если векторы , и не компланарны, то они линейно независимы.

Следствие 3. Среди трёх некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора (иначе эти векторы оказались бы линейно зависимыми).

Линейные комбинации четырёх векторов

Теорема 5. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы , и , для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что справедливо равенство


Пример 1. Составить линейную комбинацию векторов

и

с коэффициентами  и .

Решение. Вычислим сначала произведения и :

Теперь находим линейную комбинацию:


Пример 2. Составить линейную комбинацию векторов

с коэффициентами

Аналогично предыдущему находим линейную комбинацию:


Пример 3. Выяснить, являются ли векторы

и

линейно зависимыми.

Решение. В соответствии с определением линейной зависимости нужно найти такие числа
и , чтобы

Для этого подставим в последнее равенство координаты векторов и ; тогда

Выполнив в левой части преобразования по правилам действий над векторами, получим

или

Таким образом, вектор

является нулевым и, следовательно, каждая его проекция равна нулю, т.е.

или

Мы получили, что линейная комбинация векторов и может быть нулевой лишь в том случае, если все её коэффициенты равны нулю. Это означает, что данные векторы линейно независимы. 

С понятием линейной независимости векторов и линейной комбинацией связана тема Базиса системы векторов, которая изучается в отлельном уроке.

Поделиться с друзьями

Начало темы "Векторы"
Продолжение темы "Векторы"