Функция двух и более переменных. Её область определения
Функции нескольких переменных: основные определения
При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.
Определение (для функции двух переменных). Пусть X, Y и Z - множества. Если каждой паре (x, y) элементов из множеств соответственно X и Y в силу некоторого закона f ставится в соответствие один и только один элемент z из множества Z, то говорят, что задана функция двух переменных z = f(x, y).
В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x; y) плоскости xOy.
Подобно тому, как функция y = f(x) геометрически изображается графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(x, y).
Ставя в соответствие каждой точке
аппликату z = f(x, y),
мы получим некоторое множество точек
(x; y; z) трёхмерного пространства –
чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство z = f(x, y) называют уравнением поверхности.
Из аналитической геометрии известно, что множество всех упорядоченных троек чисел (x; y; z) образует координатное пространство. При этом каждой тройке (x; y; z) в пространстве соответствует точка М(x; y; z) и наоборот.
Аналогично можно дать определение функции четырёх переменных u = f(x; y; z; t). В этом случае множество упорядоченных четвёрок чисел (x; y; z; t) образуют так называемое четырёхмерное пространство, а каждая четвёрка (x; y; z; t) называется точкой этого пространства. Однако область определения функции четырёх переменных уже не имеет наглядного геометрического истолкования.
Забавный, хотя и нематематический случай функции нескольких переменных можно найти в романе Джерома К. Джерома "Трое в лодке, не считая собаки". Герой романа сообщает: "Как-то раз я зашёл в библиотеку Британского музея, чтобы навести справку о средстве против пустячной болезни, которую я где-то подцепил, - кажется, сенной лихорадки. Я взял справочник и нашёл там всё, что мне было нужно..." Итак, описана функция одной переменной - найти симптомы одного заболевания. Дальше: "... а потом, от нечего делать, начал перелистывать книгу, просматривая то, что там сказано о разных других болезнях." И герой находил у себя симптомы всех болезней, о которых читал: "Так я добросовестно перебрал все буквы алфавита, и единственная болезнь, которой я у себя не обнаружил, была родильная горячка". То есть, самая настоящая функция нескольких (многих) переменных - обнаружить у себя симптомы болезней (нескольких или даже многих), о которых человек прочёл. Впрочем, случай не такой уж и нематематический. Если условиться считать, что закон, которым задаётся функция, заключается в суммировании чисел, означающих число симптомов, а на выходе - число, которое следует толковать как степень нервного истощения героя. У этой функции есть и область определения - множество симптомов всех болезней, которые можно найти в справочниках.
Пример 0 (наиболее общий). Рассмотрим температуру
t в пункте p
земной поверхности P. Таким образом, возникает
температурная функция 
,
аргументом которой является точка p
поверхности P, а значением
t = T(p) -
температура в этой точке. Чтобы привести эту функцию к числовой записи, точку
p характеризуют некоторыми числовыми параметрами,
например, широтой 
и
долготой 
.
После этого вместо t = T(p)
пишут 
,
где теперь t, ,
- числа.
И t оказывается, таким образом, зависящей не от одной,
а от двух переменных - и
, поэтому
такую числовую функцию называют функцией двух переменных. В этом же смысле температура
атмосферы в целом есть функция 
трёх переменных: две первые (,
) указывают,
над какой точкой земной поверхности проводится измерение температуры, а последняя -
H - задаёт высоту, на которой оно выполняется.
Таким образом, то, что раньше выглядело как функция одного аргумента, при переходе к числовой записи может оказаться функцией нескольких числовых аргументов.
Аналогично можно ввести понятия функции пяти и вообще n
переменных 
.
Для функции нескольких переменных вводится понятие частных производных, а с помощью частных производных можно найти экстремумы функции нескольких переменных - у нас показано нахождение экстремумов функции двух переменных.
Основные определения, относящиеся к функциям нескольких переменных, являются обобщением соответствующих определений для функции одной переменной.
Множество D называется областью определения функции z, а множество E – множеством её значений. Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами. Переменная z называется зависимой переменной.
Частным значениям аргументов
соответствует частное значение функции
Область определения функции нескольких переменных
Если функция нескольких переменных (например, двух переменных) задана формулой z = f(x, y), то областью её определения является множество всех таких точек плоскости x0y, для которых выражение f(x, y) имеет смысл и принимает действительные значения. Общие правила для области определения функции нескольких переменных выводятся из общих правил для области определения функции одной переменной. Отличие в том, что для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек плоскости, а не прямой, как для функции одной переменной. Для функции трёх переменных областью определения является соответствующее множество точек трёхмерного пространства, а для функции n переменных - соответствующее множество точек абстрактного n-мерного пространства.
Область определения функции двух переменных с корнем n-й степени
В случае, когда функция двух переменных задана формулой 
и n -
натуральное число:
если n - чётное число, то областью определения функции является множество
точек плоскости, соответствующих всем значениями подкоренного выражения, которые больше или равны нулю,
то есть 
если n - нечётное число, то областью определения функции является множество
любых значений 
, то есть
вся плоскость x0y.
Область определения степенной функции двух переменных с целым показателем степени
В случае, когда функция задана формулой 
:
если a - положительное, то областью определения функции является вся плоскость x0y;
если a - отрицательное, то областью определения функции является
множество значений , отличных
от нуля: 
.
Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени
В случае, когда функция задана формулой 
:
если 
- положительное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых
принимает значения большие или равное нулю: 
;
если
- отрицательное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых
принимает значения, большие нуля: 
.
Область определения логарифмической функции двух переменных
Логарифмическая функция двух переменных 
определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество
тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .
Область определения тригонометрических функций двух переменных
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y.
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y.
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y, кроме пар чисел, для которых
принимает значения 
.
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y, кроме пар чисел, для которых
принимает значения 
.
Область определения обратных тригонометрических функций двух переменных
Область определения функции 
-
множество таких точек плоскости, для которых 
.
Область определения функции 
-
множество таких точек плоскости, для которых .
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y.
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y.
Область определения дроби как функции двух переменных
Если функция задана формулой 
,
то областью определения функции являются все точки плоскости, в которых 
.
Область определения линейной функции двух переменных
Если функция задана формулой вида z = ax + by + c, то область определения функции - вся плоскость x0y.
Пример 1. Найти область определения функции двух переменных 
.
Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство
.
Умножаем всё неравенство на 
и получаем
.
Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.
Пример 2. Найти область определения функции двух переменных 
.
Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство
.
Переносим икс в правую часть и получаем
.
Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.
Пример 3. Найти область определения функции двух переменных S = xy и частное значение этой функции при при x = 3, y = 5.
Решение. Область определения функции S = xy, выражающей зависимость площади многоугольника от длин его сторон, может быть записана двумя неравенствами
и
,
которые определяют I квадрант на плоскости xOy. Частное значение этой функции при x = 3, y = 5 составляет
Пример 4. Найти область и построить область определения функции двух переменных
.
Решение. Область определения заданной функции двух переменных найдём из равенства
т.е. 
Это круг с центром в начале координат и радиусом r. Графиком функции
является верхняя половина сферы 
.
Разрешив уравнение сферы относительно z, получим две однозначные функции z:
и
(рис. выше).
Функции нескольких переменных - пример из экономики
Пример 5. Рассмотрим производственную функцию (двухфакторную модель экономического роста)
где 
- национальный доход за год t; a – показатель приведения к единому масштабу продукции, затрат фондов и труда, оценивающий влияние на рост национального дохода неучтённых в модели факторов; 
- объём проиводственных фондов; 
- затраты живого труда в сфере материального производства; 
- показатели эластичности роста национального дохода в зависимости от роста производственных фондов и живого труда. Функция 
является функцией двух переменных:
