Матричный метод решения систем линейных уравнений
Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.
Другое условие применимости матричного метода - невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.
Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.
Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной
матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица
обозначается символом 
.
Пусть нужно решить систему линейных уравнений:
Запишем эту систему уравнений в матричном виде:
Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов
.
Тогда
То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения
умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных
и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.
Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.
Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Решение состоит из следующих шагов.
Шаг 1. Составляем следующие матрицы.
Матрица коэффициентов при неизвестных:
Матрица неизвестных:
Матрица свободных членов:
Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:
По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.
Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:
.
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
.
Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
.
Сделаем проверку:
Следовательно, ответ правильный.
Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.
Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Шаг 1. Составляем следующие матрицы.
Матрица коэффициентов при неизвестных:
Матрица неизвестных:
Матрица свободных членов:
Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:
.
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
.
Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
.
Сделаем проверку:
Следовательно, ответ правильный.
Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Поделиться с друзьями
