Решение примера 9 на метод Гаусса

Пример 9. Выяснить совместность и найти общее решение системы линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

Из второй строки с помощью первой можем исключить переменную x1 из второй и последующих строк. Для этого ко второй и последующим строкам прибавим первую, умноженную на минус 1. Получаем:

Далее из третьей и четвертой строк с помощью второй можем исключить переменную x2. Для этого к третьей строке, умноженной на 5, прибавляем вторую, умноженную на 3. Затем к четвертой строке, умноженной на 5, прибавляем вторую, умноженную на 7. Получаем:

В полученной матрице третья и четвертая строки пропорциональны. В этом можно убедиться, разделив третью строку на минус 4, а четвертую - на минус 6. Оставляем из них одну строку:

Получаем матрицу:

Получили ступенчатую матрицу. От нее переходим к новой системе уравнений, эквивалентной первончальной:

В ней нет уравнений вида , . Это означает, что система совместна и имеет бесконечное множество решений. Ищем общее решение.

Базисные переменные (первые слева переменные с ненулевым коэффициентом или просто первые слева):

из третьего уравнения x3, из второго уравнения x2, из первого уравнения x1.

Из третьего уравнения выразим базисную переменную x3:

Из второго уравнения выразим базисную переменную x2. Для этого в него подставим выражение для x3, полученное из третьего уравнения:

Выражаем базисную переменную x1 из первого уравнения:

Записываем общее решение:

.