Решение примера 8 на метод Гаусса

Пример 2. Выяснить совместность и найти общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

Из третьей строки с помощью второй можем исключить переменную x1. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на минус 3. Получаем:

На этом процесс исключения неизвестных (переменных) завершен. Получили ступенчатую матрицу. От нее переходим к новой системе уравнений, эквивалентной первончальной:

В ней нет уравнений вида , . Это означает, что система совместна и имеет бесконечное множество решений. Ищем общее решение.

Базисные переменные (первые слева переменные с ненулевым коэффициентом или просто первые слева):

из второго уравнения x1, из третьего уравнения x2.

Из третьего уравнения выразим базисную переменную x2:

Из второго уравнения выразим базисную переменную x1. Для этого в него подставим выражение для x2, полученное из третьего уравнения:

Выражаем базисную переменную x1:

Теперь найдем одно частное решение из бесконечного множества решений, которое имеет данная система. Чаще находят решения, в которых как можно больше единиц и нулей (такие решения проще находить). Чтобы получить x2, равное единице, нужно числитель выражения для этой переменной приравнять 11:

Данное условие выполняется при x3=0 и x4=1. Подставляем эти значения в выражение для x1 и получаем x1=−1.

Записываем общее решение:

.

Частное решение:

.