Решение примера 8 на метод Гаусса
Пример 2. Выяснить совместность и найти общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы:
Из третьей строки с помощью второй можем исключить переменную x1. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на минус 3. Получаем:
На этом процесс исключения неизвестных (переменных) завершен. Получили ступенчатую матрицу. От нее переходим к новой системе уравнений, эквивалентной первончальной:
В ней нет уравнений вида
,
. Это означает,
что система совместна и имеет бесконечное множество решений. Ищем общее решение.
Базисные переменные (первые слева переменные с ненулевым коэффициентом или просто первые слева):
из второго уравнения x1, из третьего уравнения x2.
Из третьего уравнения выразим базисную переменную x2:
Из второго уравнения выразим базисную переменную x1. Для этого в него подставим выражение для x2, полученное из третьего уравнения:
Выражаем базисную переменную x1:
Теперь найдем одно частное решение из бесконечного множества решений, которое имеет данная система. Чаще находят решения, в которых как можно больше единиц и нулей (такие решения проще находить). Чтобы получить x2, равное единице, нужно числитель выражения для этой переменной приравнять 11:
Данное условие выполняется при x3=0 и x4=1. Подставляем эти значения в выражение для x1 и получаем x1=−1.
Записываем общее решение:
.
Частное решение:
.