Решение примера 7 на метод Гаусса

Пример 7. Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

С помощью первой строки исключим переменную x1 из последующих строк. Для этого ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на минус 1. Получаем:

Теперь с помощью второй строки исключим переменную x2 из третьей строки. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на минус 2. Получаем:

В результате приходим к системе:

В третьем уравнении этой системы и коэффициенты при переменных, и свободный член равны нулю. Это означает, что система является совместной и определенной, то есть имеет бесконечное множество решений. Ищем общее решение системы.

Базисные переменные (первые слева переменные с ненулевым коэффициентом или просто первые слева):

из второго уравнения x2, из первого уравнения x1.

Из второго уравнения выразим базисную переменную x2:

.

Подставляя в первое уравнение полученное выражение для x2, находим x1:

.

Записываем общее решение:

.

Придавая переменной x3 произвольные значения, можем получить любое частное решение системы.