Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Ax² + By² + Cz² + 2Fxy + 2Gyz + 2Hzx + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,

где A, B, C, ..., D - действительные числа.

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты - это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I3 = 0, K4 = 0, семиинвариант K3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I3 = 0, K4 = 0, I2 = 0, K3 = 0 семиинвариант K2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I3 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ1, λ2, λ3 - корни характеристического уравнения

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ1, λ2, λ3 и K4/I3, определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ1 λ2, λ3 одного знака, а K4/I3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

Тогда полуоси эллипсоида будут

, , .

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

Мнимый эллипсоид

Если числа λ1 λ2, λ3 и K4/I3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

где

, , .

Мнимый конус

Если числа λ1 λ2, λ3, а K4 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

где

, , .

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K4/I3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ1 и λ2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

Поскольку

, , ,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K4/I3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ1 и λ2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

или

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K4 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ1 и λ2, общее уравнение можно переписать в виде:

или

известном как каноническое уравнение конуса.

II. Если I3 = 0, а K4 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ1 и λ2 - отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ1 и λ2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ1 и λ2, и полагая

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

Гиперболический параболоид

Если λ1 и λ2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ1 положительный корень, а через λ2 - отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

Полагая

, ,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

III. Если I3 = 0, а K4 = 0, I2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ1 и λ2 - отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ1 и λ2 одного знака, а K3/I2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Полагая

, ,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ1, λ2 и K3/I2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

или

Последняя запись - каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ1 и λ2 имеют один знак, а K3 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Полагая

, ,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

Гиперболический цилиндр

Если λ1 и λ2 имеют разные знаки, а K3 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

где

, .

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

Пересекающиеся плоскости

Если λ1 и λ2 имеют разные знаки, а K3 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

где

, .

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

IV. Если I3 = 0, K4 = 0, I2 = 0, K3 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ1 = I1 - отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

где

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

V. Если I3 = 0, K4 = 0, I2 = 0, K3 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду: