"Чистая"
и прикладная математика

Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Ax² + By² + Cz² + 2Fxy + 2Gyz + 2Hzx + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,

где A, B, C, ..., D - действительные числа.

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты - это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I3 = 0, K4 = 0, семиинвариант K3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I3 = 0, K4 = 0, I2 = 0, K3 = 0 семиинвариант K2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I3 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ1, λ2, λ3 - корни характеристического уравнения

.

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ1, λ2, λ3 и K4/I3, определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ1 λ2, λ3 одного знака, а K4/I3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

.

Тогда полуоси эллипсоида будут

, , .

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

.

чертёж эллипсоида

Мнимый эллипсоид

Если числа λ1 λ2, λ3 и K4/I3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

,

где

, , .

Мнимый конус

Если числа λ1 λ2, λ3, а K4 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

,

где

, , .

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K4/I3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ1 и λ2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

Поскольку

, , ,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

.

чертёж однополостного гиперболоида

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K4/I3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ1 и λ2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

или

.

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

чертёж двуполостного гиперболоида

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K4 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ1 и λ2, общее уравнение можно переписать в виде:

или

,

известном как каноническое уравнение конуса.

чертёж конуса

II. Если I3 = 0, а K4 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ1 и λ2 - отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ1 и λ2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

.

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ1 и λ2, и полагая

,

,

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

.

чертёж эллиптического параболоида

Гиперболический параболоид

Если λ1 и λ2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ1 положительный корень, а через λ2 - отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

.

Полагая

, ,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

.

чертёж гиперболического параболоида

III. Если I3 = 0, а K4 = 0, I2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ1 и λ2 - отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ1 и λ2 одного знака, а K3/I2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

Полагая

, ,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

.

чертёж эллиптического цилиндра

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ1, λ2 и K3/I2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

или

.

Последняя запись - каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ1 и λ2 имеют один знак, а K3 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

Полагая

, ,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

.

Гиперболический цилиндр

Если λ1 и λ2 имеют разные знаки, а K3 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

где

, .

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

.

чертёж гиперболического цилиндра

Пересекающиеся плоскости

Если λ1 и λ2 имеют разные знаки, а K3 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

где

, .

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

.

IV. Если I3 = 0, K4 = 0, I2 = 0, K3 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ1 = I1 - отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

,

где

.

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

.

чертёж параболического цилиндра

V. Если I3 = 0, K4 = 0, I2 = 0, K3 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

или

,

или

.

Параллельные плоскости

Если K2 < 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.

Полагая

,

перепишем его в виде

.

Мнимые параллельные плоскости

Если K2 > 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.

Полагая

,

перепишем его в виде

.

Совпадающие плоскости

Если K2 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:

.

Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка

Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz - 2x + 6y + 2z = 0.

Решение. Найдём I3:

.

I1 = 1 + 5 + 1 = 7,

I1I3 < 0.

Следовательно, данная поверхность - однополостный гиперболоид.

Найдём I2:

.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

;

.

Простейшее уравнение

или

или

,

где

, , .

Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

2x² + 2y² + 3z² + 4xy + 2xz + 2yz - 4x + 6y - 2z + 3 = 0.

Решение. Найдём I3:

.

Найдём К4:

.

Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.

Найдём I2:

.

I1 = 2 + 2 + 3 = 7.

Решаем характеристическое уравнение:

.

Его корни

.

Простейшее уравнение

или

,

где

, .

Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

5x² + 2y² + 5z² - 4xy - 2xz - 4yz + 10x - 4y - 2z + 4 = 0.

Решение. Найдём I3, K4, I2, K3, I1:

,

,

,

I1 = 5 + 2 + 5 = 12.

Так как I3 = К4 = 0, I2 > 0, I1K3 < 0, то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.

Характеристическое уравнение:

имеет корни

.

Простейшее уравнение:

или

.

Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

x² + y² + 4z² + 2xy + 4xz + 4yz - 6z + 1 = 0.

Посмотреть правильное решение.

Поделиться с друзьями

Функции нескольких переменных