Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения
Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из
слагаемых - дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением
является уравнение 
.
Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
- заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
- решить получившееся целое уравнение,
- исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример 1. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:
.
Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.
Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение
.
Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение
.
При решении квадратного уравнения получаем его корни:
.
Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.
Пример 2. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель -
.
Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:
Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению
.
Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:
.
Если x = -3, то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:
,
то же самое, если x = 3.
Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:
.
Общий знаменатель - выражение
Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:
Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению
.
Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:
.
Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 - корни данного уравнения.
Пример 4. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Введём новую переменную, обозначив 
.
Получим уравнение с переменной y:
.
Корни этого уравнения:
Значит
или 
.
Из уравнения находим, что
.
Из уравнения находим, что
.
Итак, данное уравнение имеет четыре корня:
, .
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
