"Чистая"
и прикладная математика

Алгебраические структуры: группы, кольца, поля

Непустое множество (чаще всего чисел) называется алгебраической структурой, если на нём определены какие-либо операции, которые обладают определёнными свойствами. В математике чаще всего рассматриваются такие алгебраические структуры, как группы, поля и кольца. Если понятие алгебраической структуры или вообще множества для вас совсем новое, лучше будет изучить уроки Множества и операции над множествами и Множества чисел.

Алгебраические структуры: группы

Группой называется конечное или бесконечное множество (чаще всего чисел), на котором:

1) определена операция (например, умножение), которую можно выполнить, не выходя за пределы группы;

2) для элементов множества выполняется сочетальный (ассоциативный) закон (для любых abc верно равенство (ab)c = a(bc)).

3) существует так называемый единичный элемент e;

4) для каждого элемента a из этого множества существует обратный элемент такой, что , при этом единственный.

Если в группе выполняется переместительный (коммутативный) закон (для любых a и b верно равенство ab = ba), то такую группу называют коммутативной или абелевой группой.

Группу, в которой определена операция умножения, называют мультипликативной группой. Если операцией группы является сложение, то группу называют аддитивной. В этом случае в качестве единичного элемента фигурирует такой элемент z, а для каждого элемента a существует единственный противоположный элемент (- a), для которого выполняется (- a) + a = a + (- a) = z.

Натуральные числа N образуют группу в отношении умножения. Сложение как операцию группы на множестве натуральных чисел выполнять не удаётся, так как нуль находится за пределами множества N. Множество положительных действительных чисел является группой в отношении умножения, а множество всех действительных чисел R - группой в отношении сложения (на этом множестве нельзя ввести число, обратное нулю).

Алгебраические структуры: кольца

У множеств комплексных чисел, действительных чисел, рациональных чисел и целых чисел есть общая особенность: в них можно выполнять операции сложения, умножения и вычитания, оставаясь в границах множества.

Каждое множество чисел, которое содержит сумму, произведение и разность любых двух своих чисел, называется кольцом.

Кольцо образуют, например, чётные числа. В свою очередь нечётные числа не образуют кольцо, так как сумма нечётных чисел - чётное число. Кроме того, никакая система положительных чисел не будет кольцом, так как если a и b - два различных положительных числа, то либо a-b, либо b-a отрицательно. Не будет кольцом и никакая система отрицательных чисел хотя бы потому, что произведение двух отрицательных чисел положительно.

Алгебраические структуры: поля

Числовое кольцо называется числовым полем, если оно содержит частное любых двух своих чисел (делитель предполагается отличным от нуля). Следовательно, можно говорить о поле рациональных чисел, поле действительных чисел, поле комплексных чисел, в то время как кольцо целых чисел полем не является.

Поле можно определить и следующим образом. Множество называют полем, если в этом множестве по меньшей мере два элемента и для них

1) определена операция сложения;

1') определена операция умножения;

2) для сложения выполняется сочетательный (ассоциативный) закон;

2') для умножения выполняется сочетательный (ассоциативный) закон;

3) для сложения выполнятся переместительный (коммутативный) закон;

3') для умножения выполняется переместительный (коммутативный) закон;

4) выполнима операция вычитания;

4') выполнима операция деления, кроме деления на нуль.

Для любых элементов поля a и b найдётся такой элемент x, что a + x = b.

Для любых элементов поля a и b найдётся такой элемент y, что a * y = b, если a ≠ 0.

Для поля в силе распределительный (дистрибутивный) закон умножения (относительно сложения): (a + b)c = ac + bc.


Алгебраические структуры часто называют просто "алгебрами". Их используют в абстрактном моделировании. В частности, они могут быть применены в программировании. Например, когда нужно определить свойства и правила какой-либо структуры и установить запрет на добавление в эту структуру элемента, которое (добавление) нарушило бы свойства и правила для этой структуры.