Множества и операции над множествами

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".

Взгляните на книгу, лежащую на столе или стоящую на полке. Она является множеством страниц. Все страницы в ней отличаются друг от друга, по меньшей мере номерами.

Итак, мы рассмотрели не только примеры множеств, но и пример операции над множествами - пересечение, а также отношение включения подмножества во множество. Все эти понятия будем рассматривать подробно на этом уроке.

Но пока ещё один пример практического рассмотрения множеств.

Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

- натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...

- простых чисел

- чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в соответствующем параграфе этого материала).

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:

hleb∈VETEROK,

что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Например, запись

M = {x | x² - 3x + 2 = 0}

означает множество корней уравнения x² - 3x + 2 = 0, т. е. множество {1, 2}. Это конечное множество.

Описанием предпочтительно задавать и конечные множества, в которых очень много элементов, например, множество всех натуральных чисел от 2 до 22³:

M = {x∈N | 2< x < 22³}.

Множество может состоять из одного элемента. Необходимо различать элемент a и множество {a}, содержащее только один элемент a, хотя бы потому, что допускаются множества, элементы которых сами являются множествами. Например, множество a={2, 1} состоит из двух элементов 2 и 1, а множество {a}, состоит из одного элемента a, который сам является двухэлементным множеством.

Множество А включено в множество В (символическая запись ), если любой элемент множества А принажлежит множеству В. В этом случае множество А является подмножеством множества В.

Например, если и , то А есть собственное подмножество В.

Если множество содержит по крайней мере два элемента, то оно имеет всевозможные подмножества, среди которых есть и собственные подмножества.

Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается .

Теорема о мощности множества степени:

Если , то .

Упомянем пример практического применения этого понятия теории множеств - подмножества - в теории игр: с помощью подмножеств моделируется создание коалиций и проверяется, выгодно ли игрокам (в частности, в бизнесе) объединяться в коалиции для достижения общих целей.

Числа, которые можно использовать для счёта предметов (то есть положительные целые числа, часто к ним относят и ноль) составляют множество натуральных чисел N:

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Числа, записанные в виде p/q, причём p и q - целые числа и q не равно нулю, составляют множество рациональных чисел Q.

Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных либо бесконечных периодических дробей, например:

Числа, которые можно представить в виде непериодических дробей, составляют множество иррациональных чисел I:

I = {x |, x непериодическая дробь}

Числа вида a+bi (a, b∈R), где i=√-1 - мнимая единица корень из минус единицы - составляют множество комплексных чисел C.

Устоявшиеся ныне представления о числовых множествах явились результатом эволюции изучения математиками различных чисел и добавления новых множеств (систем) чисел. Древнегреческие математики считали "настоящими" только натуральные числа, но в практических расчётах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятий о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н.э. Отрицательные числа применял в III веке н.э. древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними. А в VII веке н.э. эти числа подробно изучили индийские математики, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. В результате всех этих занятий и сложилось близкое к современному понятие о множестве целых чисел, а в результате изучения свойств дробей - о множествах рациональных и иррациональных чисел.

Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое , состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат или А или В, то есть

.

Операции над множествами удобно иллюстрировать фигурами, называемыми диаграммами Венна (другое название - круги Эйлера). На рисунке ниже слева большим и малым кругами обозначены соответственно множества А и В, а справа - результат объединения этих множеств (заштрихованная фигура).

Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В, то есть

.

На рисунке ниже - результат пересечения множеств А и В - заштрихованная фигура.

Операция пересечения есть в реляционной алгебре, используемой для манипулирования данными в языках запросов к базам данных, например, SQL.

Например, если , , , то , , , , .

Операция разности есть в реляционной алгебре, используемой для манипулирования данными в языках запросов к базам данных, например, SQL.

Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный из элементов , взятых именно в этом порядке, обозначается . При этом iя () компонента набора есть .

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n, i-я компонента которых принадлежит .

А теперь обещанная картинка

Операция декартова произведения есть в реляционной алгебре, используемой для манипулирования данными в языках запросов к базам данных, например, SQL.

Коммутативный закон:

,

Дистрибутивный закон:

,

Закон двойного отрицания:

.

Для следующего закона введём понятие универсума. Если допустить, что множество А является подмножеством некоторого фиксированного (поэтому на рисунке внизу оно ограничено сторонами квадрата) множества U, то множество U является универсальным (для данного случая) или универсумом. Например, в геометрии мы имеем дело с множествами точек данного пространства, в элементарной арифметике - с подмножествами множества всех целых чисел. Таким образом, множество всех целых чисел в данном случае можно считать универсальным множеством или универсумом.