"Чистая"
и прикладная математика

Ряды Фурье с примерами решений

Понятие ряда Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

a0/2 + a1cosx + b1sinx + a2cos2x + b2sin2x + ... + ancosnx + bnsinnx + ...

где числа a0, a1, b1, a2, b2, ..., an, bn, ... - коэффициенты Фурье.

Более сжатая запись ряда Фурье с символом "сигма":

.

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда, в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

1/2, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx, ....

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

,

,

.

Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π. Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π.

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π. Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-ππ], то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π.

Вышеупомянутое свойство видно на графике внизу: здесь график суммы ряда для функции f(x) = x. Вне отрезка [-ππ] сумма ряда является периодическим продолжением данной функции: график функции бесконечно повторяется справа и слева.

Сходимость ряда Фурье и сумма ряда

Пусть функция F(x), определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π, является периодическим продолжением функции f(x), если на отрезке [-ππ] имеет место F(x) = f(x)

Если на отрезке [-ππ] ряд Фурье сходится к функции f(x), то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(x) и её производная f ' (x) - непрерывные на отрезке [-ππ] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x, принадлежащей отрезку [-ππ], в которой f(x) непрерывна, сумма ряда равна f(x), а в каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева:

,

где и .

На концах отрезка [-ππ] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:

.

В любой точке x, принадлежащей отрезку [-ππ], сумма ряда Фурье равна F(x), если x - точка непрерывности F(x), и равна среднему арифметическому пределов F(x) слева и справа:

,

если x - точка разрыва F(x), где F(x) - периодическое продолжение f(x).

Пример 1. Периодическая функция f(x) с периодом 2π определена следующим образом:

Проще эта функция записывается как f(x) = |x|. Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.

Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:

Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Дана периодическая функция с периодом 2π:

Определить коэффициенты Фурье.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Пусть функция f(x) определена на отрезке [-ππ] и является чётной, т. е. f(- x) = f(x). Тогда её коэффициенты bn равны нулю. А для коэффициентов an верны следующие формулы:

,

.

Пусть теперь функция f(x), определённая на отрезке [-ππ], нечётная, т.е. f(x) = - f( - x). Тогда коэффициенты Фурье an равны нулю, а коэффициенты bn определяется формулой

.

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f(x) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл:

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку .

Ряды Фурье с периодом 2l

Пусть функция f(x) определена на отрезке [- l, l] (l - произвольное положительное число). Тогда формула ряда Фурье этой функции принимает вид

,

где коэффициенты Фурье определяются по следующим формулам:

,

,

.

Пример 5. Разложить в ряд Фурье с периодом 2l функцию f(x), которая на отрезке [- l, l] задаётся формулой .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициент Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого , а это значит, что ряд сходится на всей числовой прямой.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Разложить в ряд Фурье с периодом 4 периодическую функцию , .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Всё по теме "Ряды"