"Чистая"
и прикладная математика

Степенные ряды, их сходимость, разложение функций в степенные ряды

Понятие степенного ряда, его сходимость и расходимость

Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд

,

члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а c0c1c2cn - постоянные величины. Числа c1c2cn - коэффициенты членов ряда, c0 - свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.

Вместо x могут быть различные числа.

При некоторых значениях x степенные ряды могут быть сходящимися, при других значениях x - расходящимися. Обозначим через x0 некоторое значение x, при котором ряд сходится, а через x1 - значение, при котором ряд расходится. На рисунке слева показано, что интервал от x0 до x0 является интервалом сходимости ряда, а вне этого интервала наблюдается расходимость.

Но как определить эти граничные значения x? Для этого существует вполне определённый способ. Обозначим эти граничные значения через R и R. Находим по следующей формуле:

А теперь всё это в более точных формулировках, после чего перейдём к решению задач.

Область сходимости, интервал сходимость и радиус сходимости степенного ряда

Множество значений переменной x, для которых ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.. Для действительных значений переменной x область сходимости состоит либо из одной точки, либо является некоторым интервалом (интервалом сходимости), либо совпадает со всей осью Ox.

При подстановке в степенной ряд значения x=0 получится числовой ряд

c0+0+0+...+0+...,

который сходится.

Следовательно, при x=0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x=0 и расходятся при остальных значениях х. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова. Её можно установить с помощью следующей теоремы, которая уже была проиллюстрирована в начале этого урока.


Теорема 1 (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится при некотором значении x = x0, отличном от нуля, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях |x| < |x0|. Обратите внимание: и отправное значение "икс нулевое" и любое значение "икса", которое сравнивается с отправным, взяты по модулю - без учёта знака.

Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении x = x1, то он расходится и при всех значениях |x| > |x1|.


Отсюда следует, что для любого степенного ряда имеется интервал , симметричный относительно начала координат, называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого ряд сходится, на границах может сходиться, а может и расходиться. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях интервал сходимости степенного ряда может вырождаться в точку (тогда ряд сходится только при x=0 и считается, что R=0) или представлять собой всю числовую прямую (тогда ряд сходится во всех точках числовой прямой и считается, что ).

Таким образом, определение области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследовании сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).


Теорема 2. Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при отношения абсолютных величин коэффициентов общего следующего за ним членов ряда, то есть

                             (28)            


Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

то есть

Используя формулу (28), найдём радиус сходимости данного ряда:

.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости . Данный ряд сходится при x=1 и расходится при x=−1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал .


Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда



Решение. Коэффициенты ряда положительны, причём

Вычисляем отношение

Найдём предел этого отношения, то есть радиус сходимости степенного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала . Подстановка значений x=−1/5 и x=1/5 в данный ряд даёт:

Первый из этих рядов сходится. Но тогда в силу теоремы об абсолютной сходимости сходится и второй ряд, а область его сходимости – отрезок


Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

По формуле (28) находим радиус сходимости ряда:

Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд, соответственно получим

Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). Итак, на обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости – интервал .        


Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь , а

Найдём отношение

Следовательно, радиус сходимости ряда

то есть ряд сходится при любом конечном значении x. Область его сходимости – бесконечный интервал .


Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Находимо отношение , где , а :

Согласно формуле (28) радиус сходимости данного ряда

,

то есть ряд сходится только при x=0 и расходится при остальных значениях х.


Примеры показывают, что на концах интервала сходимости ряды ведут себя различно.

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля. Поэтому применение формулы (28) допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать с помощью признака Даламбера, или же, сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором указанное условие выполняется.


Пример 6. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение. Данный ряд не содержит членов с нечётными степенями х. Поэтому преобразуем ряд, полагая . Тогда получим ряд

для нахождения радиуса сходимости которого можно применить формулу (28). Так как , а , то радиус сходимости этого ряда

Из равенства получаем , следовательно, данный ряд сходится на интервале .

Сумма степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пусть для степенного ряда

             (29)

радиус сходимости R > 0, т.е. этот ряд сходится на интервале .

Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначая её через f(x), можем записать равенство

       (30)

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции f(x) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что степенной ряд (29) сходится к функции f(x) на интервале сходимости.

Вне интервала сходимости равенство (30) не имеет смысла.


Пример 7. Найти сумму сумму степенного ряда

Решение. Это геометрический ряд, у которого a = 1, а q = x. Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если , а - его интервал сходимости. Поэтому равенство

справедливо лишь для значений , хотя функция определена для всех значений х, кроме х = 1.


Можно доказать, что сумма степенного ряда f(x) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке  внутри интервала сходимости, в частности в любой точке интервала сходимости ряда.

Приведем теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.


Теорема 1. Степенной ряд (30) в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что исходный ряд, а суммы их соответственно равны .


Теорема 2. Степенной ряд (30) можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х, если , причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны


Разложение функций в степенные ряды

Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде (30):

Задача состоит в определении коэффициентов ряда (30). Для этого, дифференцируя равенство (30) почленно, последовательно найдём:

………………………………………………..                     (31)

 

Полагая в равенствах (30) и (31) х = 0, находим

Тогда

Подставляя найденные выражения в равенство (30), получим

          (32)

Это разложение функции f(x) в ряд называется рядом Маклорена.

Найдём разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.


Пример 8. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Производные этой функции совпадают с самой функцией:

Поэтому при х=0 получаем

Подставляя эти значения в формулу (32), получим искомое разложение:

                 (33)

Этот ряд сходится на всей числовой прямой (его радиус сходимости ).


Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функции: 1) f(x)=sinx; 2) f(x)=cosx.

Решение.

1)Находим производные функции f(x)=sinx; имеем

Так как производная четвёртого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдём значения функции и её производных при х = 0:

Поэтому ряд Маклорена для f(x)=sinx имеет вид

           (34)

2) Находим

производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Далее, имеем

В результате получаем следующее разложение функции f(x)=cosx в ряд Маклорена:

Разложить функцию в ряд Маклорена самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 10. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = sin²x.

Правильное решение и ответ.


Пример 11. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Находим производные данной функции:

…………………………………….……..

(при n<m). Необходимо различать две возможности для показателя степени m. Если m – целое положительное число, то при n=m получим

т.е. постоянную величину, а потому производные следующих порядков равны нулю. Найдём значения функции и её производных при x=0:

Подставляя эти значения в формулу (32), после упрощений получим

Это не ряд, а сумма, состоящая из конечного числа слагаемых и представляющая собой известное разложение бинома Ньютона.

Если же показатель m не является целым положительным числом, то производные в нуль не обратятся. Найденное выше выражение для производной n-го порядка справедливо для любого . При х=0 получаем

Подстановка значений функции и её производных в равенство (32) в этом случае даёт

         (35)

Полученный ряд называется биномиальным. Найдём его интервал сходимости. Так как коэффициенты этого ряда

то их отношение после упрощения принимает вид

Находим предел абсолютной величины этого отношения при :

Итак, радиус сходимости биномиального ряда R=1, а - его интервал сходимости.
Всё по теме "Ряды"