"Чистая"
и прикладная математика

Функциональные ряды и их сходимость: равномерная и неравномерная

Понятие функционального ряда и область его сходимости

Функциональным рядом называется формально записанное выражение

u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x) + ... , (1)

где u1(x), u2(x), u3(x), ..., un(x), ... - последовательность функций от независимой переменной x.

Сокращённая запись функционального ряда с сигмой: .

Примерами функциональных рядов могут служить:

          (2)

                  (3)

Придавая независимой переменной x некоторое значение x0 и подставляя его в функциональный ряд (1), получим числовой ряд

u1(x0) + u2(x0) + u3(x0) + ... + un(x0) + ...

Если полученный числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд (1) сходится при x = x0; если он расходится, что говорят, что ряд (1) расходится при x = x0.


Пример 1. Исследовать сходимость функционального ряда (2) при значениях x = 1 и x = - 1.
Решение. При x = 1 получим числовой ряд

который сходится по признаку Лейбница. При x = - 1 получим числовой ряд

,

который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на – 1. Итак, ряд (2) сходится при x = 1 и расходится при x = - 1.


Если такую проверку на сходимость функционального ряда (1) осуществить относительно всех значений независимой переменной из области определения его членов, то точки этой области разобьются на два множества: при значениях x, взятых в одном из них, ряд (1) сходится, а в другом – расходится.

Множество значений независимой переменной, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.


Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Члены ряда определены на всей числовой прямой и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = sin x. Поэтому ряд сходится, если

и расходится, если

(значения невозможны). Но при значениях и при остальных значениях x. Следовательно, ряд сходится при всех значениях x, кроме . Областью его сходимости служит вся числовая прямая, за исключением этих точек.


Пример 3. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=lnx. Поэтому ряд сходится, если , или , откуда . Это и есть область сходимости данного ряда.


Пример 4. Исследовать сходимость функционального ряда

Решение. Возьмём произвольное значение . При этом значении получим числовой ряд

              (*)

Найдём предел его общего члена

при :

Следовательно, ряд (*) расходится при произвольно выбранном, т.е. при любом значении x. Область его сходимости – пустое множество.


Равномерная сходимость функционального ряда и её свойства

Перейдём к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Пусть s(x) - сумма этого ряда, а sn(x) - сумма n первых членов этого ряда. Функциональный ряд u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x) + ... называется равномерно сходящимся на отрезке [ab], если для любого как угодно малого числа ε > 0 найдётся такой номер N, что при всех n ≥ N будет выполнятся неравенство

|s(x) − sn(x)| < ε

для любого x из отрезка [ab].

Приведённое выше свойство можно геометрически иллюстрировать следующим образом.

Рассмотрим график функции y = s(x). Построим около этой кривой полосу шириной 2εn, то есть построим кривые y = s(x) + εn и y = s(x) − εn (на рисунке ниже они зелёного цвета).

графическая иллюстрация свойства равномерной сходимости функциональных рядов

Тогда при любом εn график функции sn(x) будет лежать целиком в рассматриваемой полосе. В этой же полосе будут лежать графики всех последующих частичных сумм.

Всякий сходящийся функциональный ряд, который не обладает описанным выше признаком - неравномерно сходящийся.

Рассмотрим ещё одно свойство равномерно сходящихся функциональых рядов:

сумма ряда непрерывных функций, равномерно сходящегося на некотором отрезке [ab], есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Пример 5. Определить, непрерывна ли сумма функционального ряда

Решение. Найдём сумму n первых членов этого ряда:

Если x > 0, то

,

если x < 0, то

если x = 0, то

и поэтому .

Наше исследование показало, что сумма данного ряда - разрывная функция. Её график изображён на рисунке ниже.

графическая иллюстрация разрывности суммы функционального ряда

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов

К признаку Вейерштрасса подойдём через понятие мажоририуемости функциональных рядов. Функциональный ряд

u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x) + ...

называется мажорируемым в некоторой области изменения x, если существует такой сходящийся числовой ряд

α1 + α2 + α3 + ... + αn + ...

с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения

|u1(x)| ≤ α1,

|u2(x)| ≤ α2,

... ,

|un(x)| ≤ αn,

... .

Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине (модулю) не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов. Функциональный ряд, мажорируемый в некоторой области, равномерно сходится во всех точках этой области.

Пример 6. На основании признака Вейерштрасса сделать вывод о том, является ли равномерно сходящимся функциональный ряд

.

Решение. Известно, что ряд

сходится. Проведём сравнение рядов. Установили, что для всех значений x выполняется соотношение

.

Поэтому данный функциональный ряд - мажорируемый на всей оси Оx. А значит, что по признаку Вейерштрасса данный ряд - равномерно сходящийся на всей оси Оx.

Всё по теме "Ряды"