Функциональные ряды и их сходимость: равномерная и неравномерная
Понятие функционального ряда и область его сходимости
Функциональным рядом называется формально записанное выражение
u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x) + ... , (1)
где u1(x), u2(x), u3(x), ..., un(x), ... - последовательность функций от независимой переменной x.
Сокращённая запись функционального ряда с сигмой: 
.
Примерами функциональных рядов могут служить:
(2)
(3)
Придавая независимой переменной x некоторое значение x0 и подставляя его в функциональный ряд (1), получим числовой ряд
u1(x0) + u2(x0) + u3(x0) + ... + un(x0) + ...
Если полученный числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд (1) сходится при x = x0; если он расходится, что говорят, что ряд (1) расходится при x = x0.
Пример 1. Исследовать сходимость функционального ряда (2) при значениях x = 1 и x = - 1.
Решение. При x = 1 получим числовой ряд
который сходится по признаку Лейбница. При x = - 1 получим числовой ряд
,
который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на – 1. Итак, ряд (2) сходится при x = 1 и расходится при x = - 1.
Если такую проверку на сходимость функционального ряда (1) осуществить относительно всех значений независимой переменной из области определения его членов, то точки этой области разобьются на два множества: при значениях x, взятых в одном из них, ряд (1) сходится, а в другом – расходится.
Множество значений независимой переменной, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда
Решение. Члены ряда определены на всей числовой прямой и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = sin x. Поэтому ряд сходится, если
и расходится, если
(значения 
невозможны). Но 
при значениях 
и 
при остальных значениях x. Следовательно, ряд сходится при всех значениях x, кроме 
. Областью его сходимости служит вся числовая прямая, за исключением этих точек.
Пример 3. Найти область сходимости функционального ряда
Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=lnx. Поэтому ряд сходится, если 
, или 
, откуда 
. Это и есть область сходимости данного ряда.
Пример 4. Исследовать сходимость функционального ряда
Решение. Возьмём произвольное значение 
. При этом значении получим числовой ряд
(*)
Найдём предел его общего члена
при 
:
Следовательно, ряд (*) расходится при произвольно выбранном, т.е. при любом значении x. Область его сходимости – пустое множество.
Равномерная сходимость функционального ряда и её свойства
Перейдём к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Пусть s(x) - сумма этого ряда, а sn(x) - сумма n первых членов этого ряда. Функциональный ряд u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x) + ... называется равномерно сходящимся на отрезке [a, b], если для любого как угодно малого числа ε > 0 найдётся такой номер N, что при всех n ≥ N будет выполнятся неравенство
|s(x) − sn(x)| < ε
для любого x из отрезка [a, b].
Приведённое выше свойство можно геометрически иллюстрировать следующим образом.
Рассмотрим график функции y = s(x). Построим около этой кривой полосу шириной 2εn, то есть построим кривые y = s(x) + εn и y = s(x) − εn (на рисунке ниже они зелёного цвета).
Тогда при любом εn график функции sn(x) будет лежать целиком в рассматриваемой полосе. В этой же полосе будут лежать графики всех последующих частичных сумм.
Всякий сходящийся функциональный ряд, который не обладает описанным выше признаком - неравномерно сходящийся.
Рассмотрим ещё одно свойство равномерно сходящихся функциональых рядов:
сумма ряда непрерывных функций, равномерно сходящегося на некотором отрезке [a, b], есть функция, непрерывная на этом отрезке.
Пример 5. Определить, непрерывна ли сумма функционального ряда
Решение. Найдём сумму n первых членов этого ряда:
Если x > 0, то
,
если x < 0, то
если x = 0, то
и
поэтому 
.
Наше исследование показало, что сумма данного ряда - разрывная функция. Её график изображён на рисунке ниже.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов
К признаку Вейерштрасса подойдём через понятие мажоририуемости функциональных рядов. Функциональный ряд
u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x) + ...
называется мажорируемым в некоторой области изменения x, если существует такой сходящийся числовой ряд
α1 + α2 + α3 + ... + αn + ...
с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения
|u1(x)| ≤ α1,
|u2(x)| ≤ α2,
... ,
|un(x)| ≤ αn,
... .
Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине (модулю) не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов. Функциональный ряд, мажорируемый в некоторой области, равномерно сходится во всех точках этой области.
Пример 6. На основании признака Вейерштрасса сделать вывод о том, является ли равномерно сходящимся функциональный ряд
.
Решение. Известно, что ряд
сходится. Проведём сравнение рядов. Установили, что для всех значений x выполняется соотношение
.
Поэтому данный функциональный ряд - мажорируемый на всей оси Оx. А значит, что по признаку Вейерштрасса данный ряд - равномерно сходящийся на всей оси Оx.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
