"Чистая"
и прикладная математика

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды и их сходимость

Начиная тему рядов, мы рассматривали такие ряды, члены которых имели одинаковые знаки, а для определённости считались положительными. Теперь откажемся от этого ограничения и будем считать, что члены ряда могут иметь различные знаки. Такие ряды называются знакопеременными. На этом уроке мы узнаем о признаках сходимости таких рядов, а также о том, что такое абсолютная сходимость и условная сходимость и чем они отличаются друг от друга.

Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница

Среди знакопеременных рядов выделим их частный случай – так называемые знакочередующиеся ряды. Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно то положительны, то отрицательны (через один).

Например, знакочередующимся является ряд

  (1)

Если первый член знакочередующегося ряда положителен, то этот ряд можно записать в виде

  (2)

а если отрицателен – в виде

  (3)

В обоих рядах - абсолютные величины членов знакочередующегося ряда. Ряд (3) можно рассматривать как произведение ряда (2) на – 1, а поэтому, согласно теореме 1 параграфа «Свойства сходящихся рядов», эти ряды ведут себя одинаково, т.е. или оба сходятся, или оба расходятся. Следовательно, не нарушая общности рассуждений, будем считать первый член знакочередующегося ряда положительным.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости – признак Лейбница.


Теорема (признак Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (2) убывают:

                          (4)

и предел его общего члена при неограниченном возрастании n равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.


Следствие. Если за сумму знакочередующегося ряда принять сумму его n членов, то допущенная при этом погрешность не превзойдёт абсолютной величины первого отброшенного члена.


Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины его членов убывают:

 

а предел общего члена

равен нулю:

Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ряд сходится.


Признак Лейбница является признаком условной сходимости.

Абсолютная сходимость знакопеременных рядов

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков, то есть такими, которые могут быть положительными и отрицательными в любой последовательности. Такие ряды называются знакопеременными рядами.

Пусть ряд

– знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величины его членов:

                  (5)

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то такой знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся.


Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно.


Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится. Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится. Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится. В свою очередь, по признаку Лейбница, ряд сходится. Следовательно, данный ряд является условно сходящимся.

Начало темы "Ряды"
Продолжение темы "Ряды"