"Чистая"
и прикладная математика

Признак Даламбера сходимости рядов: теория, примеры

Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

  • число в степени,
  • факториал,
  • цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера - дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе - предыдуший член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения... Впрочем, перейдём к научной форме изложения признака Даламбера.


Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, то есть

Тогда:

  • а) если предел отношения меньше единицы (), то ряд сходится;
  • б) если предел отношения больше единицы (), то ряд расходится;
  • в) если предел отношения равен единице (), то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Найдём отношение

Так как , а , то

и, следовательно,

Согласно признаку Даламбера, ряд сходится.


Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда

а следующий за ним член

Находим их отношение:

Следовательно,

В силу признака Даламбера ряд расходится.


Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Используя признак Даламбера, получаем

Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:

Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) < n, то 1/ln (n + 1) > 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Так как

а

то

Поэтому

Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда. Продолжим исследование. Поскольку n < n +1, имеем

Следовательно, члены данного ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда, и, значит, данный ряд сходится.


Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Используя признак Даламбера, находим предел их отношения:

Предел отношения членов рядов больше единицы, поэтому данный ряд расходится.


Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Используя признак Даламбера, находим предел их отношения:

Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому данный ряд сходится.


Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Используя признак Даламбера, находим предел их отношения:

Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому данный ряд сходится.

Всё по теме "Ряды"