Признак Даламбера сходимости рядов: теория, примеры
Теоретические основы
Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:
- число в степени,
- факториал,
- цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.
Основной фигурант признака Даламбера - дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе - предыдущий член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения... Впрочем, перейдём к научной форме изложения рассматриваемого признака.
Теорема. Пусть для ряда с положительными членами
при 
существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, то есть
Тогда:
- а) если предел отношения меньше единицы (
),
то ряд сходится; - б) если предел отношения больше единицы (
),
то ряд расходится; - в) если предел отношения равен единице (
),
то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.
Решаем примеры
Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом 
Решение. Найдём отношение
Так как 
, а 
, то
и, следовательно,
Установлена сходимость.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Общий член данного ряда
а следующий за ним член
Находим их отношение:
Следовательно,
Констатируем расходимость.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом
Используя признак Даламбера, получаем
Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:
Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) < n, то 1/ln (n + 1) > 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом 
Решение. Так как
а
то
Поэтому
Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости. Продолжим исследование. Поскольку n < n +1, имеем
Следовательно, члены данного ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда, и, значит, данный ряд сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
Решение. Запишем n-й член ряда:
Решение. Запишем n+1-й член ряда:
Находим предел их отношения:
Предел отношения больше единицы, поэтому о сходимости не может быть и речи.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
Решение. Запишем n-й член ряда:
Решение. Запишем n+1-й член ряда:
Находим предел их отношения:
Получили значение меньше единицы и, значит, установили сходимость.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
Решение. Запишем n-й член ряда:
Решение. Запишем n+1-й член ряда:
Находим предел их отношения:
Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому констатируем сходимость.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
