"Чистая"
и прикладная математика

Признак сравнения рядов для выяснения их сходимости: теория, примеры

Признак сравнения рядов, как и признак Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов с положительными членами, так как исследование ряда с помощью этих признаков даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится.

Применение признака сравнения заключается в том, что исследуемый ряд сравнивают с рядом, сходимость которого заранее известна.

Непосредственное сравнение членов рядов

Пусть даны два ряда с положительными общими членами и . Пусть для этих рядов выполняется неравенство , то есть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда.

Тогда из сходимости второго ряда (ряда с бОльшим общим членом) следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда (ряда с меньшим общим членом) – расходимость второго ряда.

Предел отношения общих членов рядов

Пусть даны два ряда с положительными общими членами и . Если , то есть предел отношения общих членов ряда равен конечному и отличному от нуля числу, то оба ряда ведут себя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся.

Трудность применения на практике признака сравнения состоит в необходимости иметь «запас» рядов, сходимость (или расходимость) которых известна, а среди них подобрать такой, чтобы выполнялось условие. Для сравнения часто используются:

  • геометрический ряд , который сходится, если |q| < 1 и расходится, если |q| ≥ 1;
  • обобщённый гармонический ряд , который сходится, если p > 1 и расходится, если p ≤ 1;
  • ряд .

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося геометрического ряда с общим членом

Согласно признаку сравнения, данный ряд также сходится.


Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как

то члены данного ряда меньше членов

 

сходящегося ряда. На основании признака сравнения данный ряд также сходится.


Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Первые их члены совпадают, а остальные члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда:

поскольку

Согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.


Пример 4. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Так как , а ряд сходится как геометрический ряд с , то по признаку сравнения данный ряд также сходится.


Пример 5. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и гармонического ряда :

Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.


Пример 6. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и гармонического ряда :

Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.


Пример 7. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и обобщённого гармонического ряда , который расходится, так как . Искать предел будем, учитывая, что , если , поэтому , если . Итак, предел:

.

Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.

Всё по теме "Ряды"