"Чистая"
и прикладная математика

Интегральный признак Коши сходимости рядов в примерах

Интегральный признак Коши, часто называемый просто интегральным признаком, так же, как и признак сравнения, признак Даламбера и радикальный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов. Исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится.

Для использования интегрального признака Коши нужно уметь уверенно находить несобственные интегралы.

Пусть дан ряд , члены которого являются значениями некоторой функции f(x), положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда относительно интеграла, в котором подынтегральная функция задаёт общий член ряда, верно следующее:

  • если интеграл сходится, то сходится и ряд ;
  • если же интеграл расходится, то и ряд также расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Так как интеграл сходится при и расходится при , то, согласно интегральному признаку Коши, и данный ряд сходится при и расходится при .

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Составим соответствующий несобственный интеграл. В качестве пределов интегрирования поставим - внизу: то, чему равно "эн" внизу "сигмы", то есть 2; наверху: то, что наверху у "сигмы", то есть бесконечность. В подынтегральной функции вместо "эн" будет "икс". Выясним, сходится или расходится полученный интеграл:

.

Так как несобственный интеграл расходится, то, согласно интегральному признаку Коши, данный ряд также расходится.

Пример 3. Выяснить, сходится или расходится ряд

.

Решение. Составим соответствующий несобственный интеграл. Начиная вычислять его, сразу применяем подведение под знак дифференциала:

.

Так как несобственный интеграл равен бесконечности, то он расходится. Поэтому данный ряд, согласно интегральному признаку Коши, также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Составим соответствующий несобственный интеграл и выясним, сходится он или расходится:

.

так как

.

Мы получили, что несобственный интеграл равен конечному числу, поэтому он сходится. По интегральному признаку Коши и данный ряд также сходится.

Пример 5. Выяснить, сходится или расходится ряд

.

Решение. Составим соответствующий несобственный интеграл. При решении применяем подведение под знак дифференциала:

.

Так как несобственный интеграл равен бесконечности, то он расходится. Поэтому данный ряд, согласно интегральному признаку Коши, также расходится.

Всё по теме "Ряды"