"Чистая"
и прикладная математика

Радикальный признак Коши сходимости рядов в примерах

Радикальный признак Коши, часто называемый просто признаком Коши, так же, как и признак сравнения, признак Даламбера и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов. Исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Если, конечно, использование этого признака обосновано.

Радикальный признак Коши применяется, когда выражение общего члена находится в степени, зависящей от n. Например, .

Для использования радикального признака Коши нужно уметь уверенно находить пределы.

Теорема (радикальный признак Коши). Пусть существует предел корня n-й степени из общего члена ряда:

.

Тогда

  • если предел меньше единицы (), то ряд сходится,
  • если предел больше единицы (), то ряд расходится,
  • если же предел равен единице (), то ничего определённого о сходимости ряда сказать нельзя: радикальный признак Коши здесь не годится и нужно использовать другой признак.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел корня n-й степени из общего члена ряда. Вспоминаем правило преобразования в степень корня n-й степени из выражения под корнем - в полученном выражении степень выражения под корнем делится на степень корня:

Так как полученный предел меньше единицы (), данный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел. В полученном после преобразования в степень корня n-й степени из выражения под корнем n делится на n, поэтому сразу получаем подкоренное выражение в первой степени:

Так как полученный предел меньше единицы (), данный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел:

Предел меньше единицы (), поэтому данный ряд сходится.

Пример 4. Выяснить, сходится или расходится ряд

Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел:

Так как предел меньше единицы (), то по радикальному признаку Коши данный ряд сходится.

Пример 5. Выяснить, сходится или расходится ряд

Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел:

Так как предел больше единицы (), то по радикальному признаку Коши данный ряд расходится.

Пример 6. Выяснить сходимость ряда

Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел:

Выражение в скобках - - второй замечательный предел. Поэтому:

.

Так как предел больше единицы (), то по радикальному признаку Коши данный ряд расходится.

Пример 7. Выяснить, сходится или расходится ряд

Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел:

Так как предел меньше единицы (), то по радикальному признаку Коши данный ряд сходится.

Всё по теме "Ряды"