Радикальный признак Коши сходимости рядов в примерах
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Радикальный признак Коши: как применять
Радикальный признак Коши, часто называемый просто признаком Коши, так же, как и признак сравнения, признак Даламбера и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов. Исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Если, конечно, использование этого признака обосновано.
Радикальный признак Коши применяется, когда выражение общего члена находится в
степени, зависящей от n. Например, 
.
Для использования радикального признака Коши нужно уметь уверенно находить пределы.
Теорема (радикальный признак Коши). Пусть существует предел корня n-й степени из общего члена ряда:
.
Тогда
- если предел меньше единицы (
), то ряд сходится, - если предел больше единицы (
), то ряд расходится, - если же предел равен единице (
), то ничего определённого о сходимости ряда сказать нельзя: радикальный признак Коши здесь не годится и нужно использовать другой признак.
Задачи на радикальный признак Коши
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел корня n-й степени из общего члена ряда. Вспоминаем правило преобразования в степень корня n-й степени из выражения под корнем - в полученном выражении степень выражения под корнем делится на степень корня:
Так как полученный предел меньше единицы (),
данный ряд сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел. В полученном после преобразования в степень корня n-й степени из выражения под корнем n делится на n, поэтому сразу получаем подкоренное выражение в первой степени:
Так как полученный предел меньше единицы (),
данный ряд сходится.
Применить радикальный признак Коши самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Выяснить, сходится или расходится ряд
Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел:
Так как предел меньше единицы (),
то по радикальному признаку Коши данный ряд сходится.
Пример 5. Выяснить, сходится или расходится ряд
Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел:
Так как предел больше единицы (),
то по радикальному признаку Коши данный ряд расходится.
Применить радикальный признак Коши самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Выяснить, сходится или расходится ряд
Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел:
Так как предел меньше единицы (),
то по радикальному признаку Коши данный ряд сходится.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
