Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры
Что значит найти обратную матрицу?
Нахождение обратной матрицы - процесс, который состоит из достаточно простых действий. Но эти действия повторяются так часто, что процесс получается довольно продолжительным. Главное - не потерять внимание при решении.
При решении наиболее распространённым методом - алгебраических дополнений - потребуется:
- вычислять определители, поэтому нелишне открыть в новом окне материал по вычислению определитедей;
- находить миноры и алгебраические дополнения - подробно об этом также в соответствующем материале;
- транспонировать матрицы.
При решении примеров мы разберём эти действия подробнее. А пока узнаем, что гласит теория об обратной матрице.
Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a, не равного нулю, существует такое число b, что произведение a и b равно единице: ab = 1. Число b называется обратным для числа b. Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица
,
произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
. (1)

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.
Нахождение обратной матрицы - задача, которая чаще решается двумя методами:
- методом алгебраических дополнений, при котором, как было замечено в начале урока, требуется находить определители, миноры и алгебраические дополнения и транспонировать матрицы;
- методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).
Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.
Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.
Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.
Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.
На сайте есть онлайн калькулятор для нахождения обратной матрицы. Вы можете открыть его в новом окне уже сейчас, если держите перед собой ваши собственные задания. А мы разберём несколько разминочных.
Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений (союзной матрицы)
Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица
, (2)
где -
определитель матрицы А, а
- матрица, союзная с матрицей А.
Разберём ключевые понятия, которые потребуются для решения задач - союзная матрица, алгебраические дополнения и транспонированная матрица.
Пусть существует квадратная матрица A:
Транспонированная относительно матрицы A матрица A' получается, если из строк матрицы A сделать столбцы, а из её столбцов - наоборот, строки, то есть заменить строки столбцами:
Остановимся на минорах и алгебраических дополнениях.
Пусть есть квадратная матрица третьего порядка:
.
Её определитель:
Вычислим алгебраическое дополнение элемента ,
то есть элемента 2, стоящего на пересечении первой строки и второго столбца.
Для этого нужно сначала найти минор этого элемента. Он получается вычёркиванием из
определителя строки и столбца, на пересечении которых стоит указанный элемент. В результате останется
следующий определитель, который и является минором элемента :
.
Алгебраическое дополнение элемента
получим, если умножим
,
где i - номер строки исходного элемента, а k - номер столбца исходного элемента, на
полученный в предыдущем действии минор этого исходного элемента. Получаем алгебраическое дополнение элемента
:
.
По этой инструкции нужно вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы A', транспонированной относительно матрицы матрица A.
И последнее из значимых для нахождение обратной матрицы понятий. Союзной с квадратной матрицей A называется матрица
того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы
,
транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, союзная матрица состоит из следующих элементов:
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений
1. Найти определитель данной матрицы A. Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.
2. Найти матрицу, транспонированную относительно A.
3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.
4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A, на союзную матрицу, найденную на шаге 4.
5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.
Пример 1. Для матрицы
найти обратную матрицу.
Решение. Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Находим по правилу треугольников:
Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.
Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А.
Найдём матрицу
,
транспонированную относительно матрицы A:
Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A:
Следовательно, матрица
,
союзная с матрицей A, имеет вид
Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A, а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.
Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А:
Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы.
Нахождение обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса
Первый шаг для нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса -
приписать к матрице A единичную матрицу того же порядка, отделив их вертикальной чертой. Мы
получим сдвоенную матрицу .
Умножим обе части этой матрицы на
,
тогда получим
,
но
и
.
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса
1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.
2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.
2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.
Пример 2. Для матрицы
найти обратную матрицу.
Решение. Составляем сдвоенную матрицу
и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.
Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим
.
Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим
.
Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим
.
Разделим третью строку на 8, тогда
.
Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:
.
Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:
.
Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части
получилась обратная матрица .
Таким образом:
.
Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:
.
В результате должна получиться обратная матрица.
Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы.
Пример 3. Для матрицы
найти обратную матрицу.
Решение. Составляем сдвоенную матрицу
и будем её преобразовывать.
Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим
.
Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим
.
Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.
Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы.
Нахождение обратной матрицы методом линейных преобразований
Матрицы теснейшим образом связаны с системами линейных уравнений. Каждой матрице соответствует система линейных уравнений, коэффициенты в которой есть элементы матрицы. И наоборот, системе линейных уравнений соответствует некоторая матрица.
Поэтому существует метод линейных преобразований для нахождения обратной матрицы. Для решения задач нам будет достаточно знать, что линейное преобразование - это система линейных уравнений, вид которой будет приведён ниже в алгоритме.
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом линейных преобразований
1. Для данной невырожденной матрицы A составить линейное преобразование - систему линейных уравнений вида
,
где aij - элементы матрицы A.
2. Решить полученную систему относительно y - найти для предыдущего линейного преобразование обратное линейное преобразование
,
в котором Aij - алгебраические дополнения элементов матрицы A, Δ - определитель матрицы A. Внимание! Алгебраические дополнения располагаются как в транспонированной матрице, то есть для элементов строки - в столбце, а для элементов столбца - в строке.
3. Находим коэффициенты при y: ,
которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A.
4. Пользуясь элементами, найденными на шаге 3, записать найденную обратную матрицу.
Наиболее наблюдательные могли заметить, что по сути метод линейных преобразований - это тот же метод алгебраических преобразований (союзной матрицы), но с другой формой записи. Для кого-то метод линейных преобразований может оказаться более удобным как более компактный.
Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы
.
Сначала проверим, не равен ли нулю определитель данной матрицы. Он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.
Для данной матрицы записываем линейное преобразование:
.
Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется находить алгебраические дополнения (урок откроется в новом окне). Запишем обратное линейное преобразование:
Коэффициенты при иксах в обратном линейном преобразовании - это элементы обратной матрицы для матрицы A. Таким образом нашли обратную матрицу:
Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы.
Найти обратную матрицу самостоятельно, а затем посмотреть решение
Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |