Показатели рядов динамики: прогнозирование

Модели на основе средних значений могут быть использованы, когда значение уровня ряда динамики колеблется вокруг среднего значения и в ряде нет какой-либо ярко выраженной тенденции (тренда).

Метод скользящей средней

В прогнозировании значение скользящей средней (обозначим её Mt) вычисляется по формуле

,

где N - длина интервала сглаживания.

В этом случае среднее значение, которое используется для прогноза, является адаптивным средним. При пронозировании принимается, что это адаптивное среднее значение является самым лучшим (наиболее вероятным) значением для следующего периода. Обозначим прогнозируемое значение через Ft. Тогда

Ft+1 = Mt.

---

---

При использовании модели среднего значения прогнозы зависят от длины интервала сглаживания. Поэтому закономерен вопрос: как выбрать интервал и какая величина - "лучшая" для интервала? Для ответа на этот вопрос нужно оценить погрешность прогноза среднего для различных интервалов сглаживания и выбрать тот, у которого случайная ошибка прогноза - наименьшая.

Погрешность прогноза для каждого момента времени вычисляется по формуле

εt = yt − Ft.

Среднюю погрешность прогноза на основе скользящей средней обычно вычисляется как среднее абсолютное отклонение, которое обозначается MAD (Mean Absolute Deviation):

,

где n - число вычисленных ошибок.

При оценке прогноза можно использовать также среднюю квадратическую погрешность и среднюю абсолютную процентную ошибку.

Средняя квадратическая погрешность MSE (Mean Squared Error) вычисляется по формуле

.

Средняя абсолютная процентная ошибка MAPE (Mean Absolute Percenting Error) вычисляется по формуле

.

---

---

При использовании формулы значения скользящей средней каждому уровню ряда динамики в границах периода сглаживания присваивается один и тот же вес. Так, если N=3, то вес соответствует 1/3, поэтому формулу в этом случае можно записать так:

Mt = (1/3)yt + (1/3)yt−1 + (1/3)yt−2.

Но можно использовать и скользящие средние значения с различными весами - так называемые скользящие средневзвешенные. При этом нужно соблюдать условие: сумма весов равна единице. Например, при N=3 можно использовать весы 3/5, 1/5, 1/5. В этом случае

Mt = (3/5)yt + (1/5)yt−1 + (1/5)yt−2.

Модели прогнозирования на основе скользящей средней и скользящей средневзвешенной имеют существенный недостаток: для вычисления пронозируемого значения используются только последние N уровней ряда динамики и только для вычисления погрешности используются предыдущие n − N уровней. Поэтому для прогнозирования средних значений рядов динамики используются и другие методы.

Метод экспоненциальной средней (экспоненциального сглаживания)

Основная формула значения экспоненциальной средней:

Ft+1 = αyt + (1 − α)Ft,

где α - параметр экспоненциального сглаживания, который может принимать значения от 0 до 1.

Таким образом, прогноз для каждого следующего периода строится на среднем взвешенном значении предыдущего уровня ряда динамики и значении предыдущего прогноза. Например, для прогноза значения четвёртого уровня ряда динамики формула будет следующей:

F4 = αy3 + (1 − α)F3,

для прогноза третьего уровня

F3 = αy2 + (1 − α)F2,

для прогноза второго уровня

F2 = αy1 + (1 − α)F1.,

То есть в прогнозе используется среднее взвешенное значение от y3 и F3 с весами α и 1 − α.

В общем случае прогноз на каждый следующий период является средней взвешенной величиной от всех предыдущих уровней ряда динамики.

Вернёмся к уравнениям прогноза значений третьего и четвёртого уровней ряда динамики. Подставляя каждое следующее уравнение в предыдущее, получаем

или в общем виде

.

Таким образом, в общем случае прогнозируемое значение вычисляется с использованием всех уровней ряда динамики путём их умножения на соответствующие коэффициенты (весы): или .

Так как параметр экспоненциального сглаживания α принимает значения от 0 до 1, эти коэффициенты образуют убывающую геометрическую прогрессию с первым членом a1 = α и квоциентом q = 1 − α. То есть они подчинены экспоненциальному закону распределения. Например, если α = 0,5, то α(1 − α) = 0,25, α(1 − α)² = 0,125 и так далее. Если α = 0,2, то α(1 − α) = 0,16, α(1 − α)² = 0,128 и так далее. На графике можно видеть, что весы экспоненциально убывают, но в первом случае более стремительно, а во втором - медленнее.

В зависимости от величины параметра экспоненциального сглаживания α различным уровням ряда динамики можно присвоить различные весы. Например, если о прогнозируемом показателе известно, что на его будущие значения больше влияют более близкие из предыдущих уровней ряда, то параметр α должен быть больше, чем в случае, когда бОльшее влияние оказывают более ранние значения ряда динамики. А если бОльшее влияние оказывают более ранние значения, то параметр α должен быть меньше.

В практических вычислениях принимают, что F1 = y1, так как необходимые для вычисления F1 значения y0 и F0 неизвестны.

---

---

Формулу экспоненциальной средней можно преобразовать, чтобы в прогнозе учитывалась погрешность прогноза для предыдущего периода:

Ft+1 = αyt + (1 − α)Ft

Ft+1 = αyt + Ft − αFt

Ft+1 = Ft + α(yt − Ft)

Ft+1 = Ft + αεt).

Как показывает последнее выражение, прогноз по методу экспоненциальной средней образуется из прогноза с экспоненциальным средним значением прошлого периода с прибавлением погрешности ошибки, умноженной на параметр сглаживания α. Если погрешность больше нуля, это означает, что предыдущий прогноз был меньше фактического значения и следующий прогноз будет соответственно увеличен. Если погрешность меньше нуля, то прогноз был меньше фактического значения и прогноз на следующий период будет соответственно уменьшен.

Доверительный интервал для прогнозов на основе средних значений

Доверительный интервал прогноза определяется путём вычисления стандартной погрешности sε.

Фактически можно принять, что в 68 % случаев прогнозы находятся в интервале Ft ± sε, а в 95 % случаев - в интервале Ft ± 2sε.

Чтобы вычислить sε, можно использовать значение средней абсолютной погрешности MAD или значение средней квадратической погрешности MSE:

или

.

---