Производные логарифмов и логарифмическое дифференцирование
Как находить производные сложных логарифмических функций?
Что можно сказать о производной логарифмической функции y = lnx на основании таблицы производных? Можно сказать, что она существует и выражается формулой
(1)
Однако в большинстве задач математического анализа, с которыми придётся столкнуться в дальнейшем, присутствует сложная логарифмическая функция. Она вычисляется несколько иначе.
В случае сложной логарифмической функции y = lnu, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (1) примет вид
(2)
Пользуясь формулой (2), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть
В результате применения свойств логарифмов:
Так как
- постоянный множитель, то
или
(3)
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Применяя правило дифференцирования дроби (частного), а затем формулу (3), получим
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Используя свойства логарифмов, данную функцию можно записать проще:
Это сложная логарифмическая функция. Применяя правило о том, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, а затем формулу (2) при
получаем
Что такое логарифмическое дифференцирование?
Если функция дана в виде
,
то перед тем, как находить её производную, часто бывает выгодно прологарифмировать эту функцию.
Это прежде всего случаи, когда требуется найти производную произведения или частного функций, а также степенной функции, когда основание и степень - функции.
На основании свойств сложных функций доказано, что производная функции, вид которой приведён выше, может быть найдена по формуле
.
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Логарифмируем обе части равенства и находим:
Решение. Окончательно находим производную данной функции:
Пример 4. Найти производную функции
.
Решение. Логарифмируем обе части равенства:
Дифференцируем:
Выражаем и находим производную данной функции:
Найти производную логарифмической функции самостоятельно, а затем помотреть решение
Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Поделиться с друзьями
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Дифференциал функции
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
- Применение производной к исследованию функций