Более трудные задачи на сложение и умножение вероятностей

В уроке "Действия над вероятностями" мы познакомились со сложением и умножением вероятностей и простейшими примерами этих действий. В контрольных работах и на экзамене попадаются и задачи поинтересней (посложнее), в которых необходимо применять сразу и сложение и умножение вероятностей. На этой странице - решения таких задач. Как это часто бывает с задачами на нахождение вероятностей, рассматривается урна, в которой находится сколько-то шаров и из урны вынимается сколько-то шаров, а требуется найти вероятность того, что выбранный шар - такого-то или иного цвета.

Пример 1. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим через a количество белых шаров, а через b - количество чёрных шаров. По теореме умножения вероятностей

Подставляем в полученную формулу значения количества белых и чёрных шаров и получаем:

Ответ: вероятность того, что оба шара будут белыми, равна 0,3.

Пример 2. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

Решение. Событие может появиться в двух несовместных вариантах: бч и чб. По теремам сложения и умножения вероятностей

Подставляем в полученную формулу значения количества белых и чёрных шаров и получаем:

Ответ: вероятность того, что шары будут разных цветов, равна 0,525.

Пример 3. В урне 9 белых, 7 чёрных и 6 красных шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными.

Решение. Чтобы найти вероятность события A - по крайней мере два шара будут одноцветными, - перейдём к противоположному - все шары разных цветов:

Отсюда

Подставляем в полученную формулу значения количества шаров и получаем требуемую вероятность:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Попадаются и задачи на умножение вероятностей для нескольких событий. Поэтому следует привести формулы для вычисления вероятностей нескольких событий. Для зависимых событий она имеет вид

Для независимых событий:

Пример 4. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча. После игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Найти вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей.

Решение. Событие A может произойти единственным способом: первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты неигранные мячи. Первый раз это обеспечено. Поэтому