Равномерное распределение непрерывной случайной величины
Равномерное распределение, плотность вероятности, функция распределения равномерно распределённой случайной величины
Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна.
Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид
Значения f(x) в крайних точках a и b участка (a, b) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины равна нулю.
Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (a, b) (рисунок ниже), в связи с чем равномерное распределение иногда называют "прямоугольным".
Как найти вероятность попадания случайной величины X, равномерно распределённой на участке (a, b) на любую часть (α, β) участка (a, b) ?
Эта вероятность находится по формуле
и геометрически представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рисунке ниже и опирающуюся на часть (α, β) участка (a, b) (на сайте рассказано более подробно о непрерывной случайной величине и функции ее распределения):
Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид
Характеристики равномерного распределения
Характеристики равномерного распределения (на сайте рассказано более подробно о характеристиках случайной величины):
- среднее значение (математическое ожидание)
; - дисперсия
; - стандартное отклонение
; - равномерное распределение не имеет моды.
Решение примеров на равномерное распределение
Пример 1. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые будут указаны в решении.
Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от 995 г. до 1005 г. :
.
Найдём среднее значение непрерывной случайной величины:
.
Найдём стандартное отклонение:
.
Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении
одного стандартного отклонения от среднего значения (т. е. в интервале
):
.
Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 (мин.). Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Случайная величина T - время, в течение которого ему придётся ждать поезда, имеет равномерное распределение. Найти плотность распределения f(x) случайной величины T, её математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что ждать придётся не больше полминуты.
Решение. Найдём плотность распределения f(x):
f(x) = 1/2 (0 < x < 2).
Найдём математическое ожидание случайной величины:
μ = (2 + 0)/2 = 1.
Найдём дисперсию:
σ² = 2²/12 = 1/3.
Стандартное отклонение:
σ = (√3)/3.
Найдём вероятность того, что пассажиру придётся ждать поезда не больше полминуты:
P{T < 1/2} = 1/4.
Пример 3. Случайная величина X распределена равномерно на участке (a, b). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ.
Решение. Найдём стандартное отклонение:
σ = (b - a)/(2√3);
3σ = 3(b - a)/(2√3) = √3(b - a)/2;
При равномерном распределении на участке (a, b) крайние точки a и b, ограничивающие участок возможных значений случайной величины, отстоят от её математического ожидания μ = (a + b)/2 на расстояние (b - a)/2, которое меньше, чем √3(b - a)/2. Следовательно, вероятность события, обозначенного в условии задачи, равна нулю.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
