"Чистая"
и прикладная математика

Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Равномерное распределение, плотность вероятности, функция распределения равномерно распределённой случайной величины

Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна.

Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид

Значения f(x) в крайних точках a и b участка (ab) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины равна нулю.

Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (ab) (рисунок ниже), в связи с чем равномерное распределение иногда называют "прямоугольным".

изображение кривой равномерного распределения

Как найти вероятность попадания случайной величины X, равномерно распределённой на участке (ab) на любую часть (αβ) участка (ab) ?

Эта вероятность находится по формуле

и геометрически представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рисунке ниже и опирающуюся на часть (αβ) участка (ab):

вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на часть участка

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид

Характеристики равномерного распределения

Характеристики равномерного распределения:

  • среднее значение (математическое ожидание) ;
  • дисперсия ;
  • стандартное отклонение ;
  • равномерное распределение не имеет моды.

Решение примеров на равномерное распределение

Пример 1. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые будут указаны в решении.

Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от 995 г. до 1005 г. :

.

Найдём среднее значение непрерывной случайной величины:

.

Найдём стандартное отклонение:

.

Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении одного стандартного отклонения от среднего значения (т. е. в интервале ):

.

Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 (мин.). Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Случайная величина T - время, в течение которого ему придётся ждать поезда, имеет равномерное распределение. Найти плотность распределения f(x) случайной величины T, её математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что ждать придётся не больше полминуты.

Решение. Найдём плотность распределения f(x):

f(x) = 1/2 (0 < x < 2).

Найдём математическое ожидание случайной величины:

μ = (2 + 0)/2 = 1.

Найдём дисперсию:

σ² = 2²/12 = 1/3.

Стандартное отклонение:

σ = (√3)/3.

Найдём вероятность того, что пассажиру придётся ждать поезда не больше полминуты:

P{T < 1/2} = 1/4.

Пример 3. Случайная величина X распределена равномерно на участке (ab). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ.

Решение. Найдём стандартное отклонение:

σ = (b - a)/(2√3);

3σ = 3(b - a)/(2√3) = √3(b - a)/2;

При равномерном распределении на участке (ab) крайние точки a и b, ограничивающие участок возможных значений случайной величины, отстоят от её математического ожидания μ = (a + b)/2 на расстояние (b - a)/2, которое меньше, чем √3(b - a)/2. Следовательно, вероятность события, обозначенного в условии задачи, равна нулю.

Начало темы "Теория вероятностей"