"Чистая"
и прикладная математика

Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Равномерное распределение, плотность вероятности, функция распределения равномерно распределённой случайной величины

Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна.

Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид

Значения f(x) в крайних точках a и b участка (ab) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины равна нулю.

Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (ab) (рисунок ниже), в связи с чем равномерное распределение иногда называют "прямоугольным".

изображение кривой равномерного распределения

Как найти вероятность попадания случайной величины X, равномерно распределённой на участке (ab) на любую часть (αβ) участка (ab) ?

Эта вероятность находится по формуле

и геометрически представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рисунке ниже и опирающуюся на часть (αβ) участка (ab) (на сайте рассказано более подробно о непрерывной случайной величине и функции ее распределения):

вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на часть участка

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид

Характеристики равномерного распределения

Характеристики равномерного распределения (на сайте рассказано более подробно о характеристиках случайной величины):

  • среднее значение (математическое ожидание) ;
  • дисперсия ;
  • стандартное отклонение ;
  • равномерное распределение не имеет моды.

Решение примеров на равномерное распределение

Пример 1. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые будут указаны в решении.

Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от 995 г. до 1005 г. :

.

Найдём среднее значение непрерывной случайной величины:

.

Найдём стандартное отклонение:

.

Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении одного стандартного отклонения от среднего значения (т. е. в интервале ):

.

Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 (мин.). Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Случайная величина T - время, в течение которого ему придётся ждать поезда, имеет равномерное распределение. Найти плотность распределения f(x) случайной величины T, её математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что ждать придётся не больше полминуты.

Решение. Найдём плотность распределения f(x):

f(x) = 1/2 (0 < x < 2).

Найдём математическое ожидание случайной величины:

μ = (2 + 0)/2 = 1.

Найдём дисперсию:

σ² = 2²/12 = 1/3.

Стандартное отклонение:

σ = (√3)/3.

Найдём вероятность того, что пассажиру придётся ждать поезда не больше полминуты:

P{T < 1/2} = 1/4.

Пример 3. Случайная величина X распределена равномерно на участке (ab). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ.

Решение. Найдём стандартное отклонение:

σ = (b - a)/(2√3);

3σ = 3(b - a)/(2√3) = √3(b - a)/2;

При равномерном распределении на участке (ab) крайние точки a и b, ограничивающие участок возможных значений случайной величины, отстоят от её математического ожидания μ = (a + b)/2 на расстояние (b - a)/2, которое меньше, чем √3(b - a)/2. Следовательно, вероятность события, обозначенного в условии задачи, равна нулю.

Назад<<<ЛистатьВперёд>>>
Начало темы "Теория вероятностей"