Распределение Пуассона дискретной случайной величины
Распределение Пуассона: формула вероятности редких событий
Распределение Пуассона - случай биномиального распределения, когда
число испытаний n достаточно большое, а вероятность p события
A мала (
).
Распределение Пуассона называют также распределением редких событий. Например, рождение за год трёх или четырёх близнецов, тот же закон распределения имеет число распавшихся в единицу времени атомов радиоактивного вещества и др.
Вероятность наступления редких событий вычисляется по формуле Пуассона:
,
где m число наступления события A;
-
среднее значение распределения Пуассона;
e=2,7183 - основание натурального логарифма.
Закон Пуассона зависит от одного параметра - λ (лямбда), смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случаной величины, распределённой по закону Пуассона.
Условия возникновения распределения Пуассона
Рассмотрим условия, при которых возникает распределение Пуассона.
Во-первых, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число опытов n неограниченно увеличивается (стремится к бесконечности) и одновременно вероятность p успеха в одном опыте неограниченно уменьшается (стремится к нулю), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным и равным λ (лямбде):
.
В математическом анализе доказано, что распределение Пуассона с параметром λ = np можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов n очень велико, а вероятность p очень мала, то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко.
Во-вторых, распределение Пуассона имеет место, когда есть поток событий, называемым простейшим (или стационарным пуассоновским потоком). Потоком событий называют последовательность таких моментов, как поступление вызовов на коммуникационный узел, приходы посетителей в магазин, прибытие составов на сортировочную горку и тому подобных. Пуассоновский поток обладает следующими свойствами:
- стационарность: вероятность наступления m событий в определённый период времени постоянна и не зависит от начала отсчёта времени, а зависит только от длины участка времени;
- ординарность: вероятность попадания на малый участок времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события;
- отсутствие последствия: вероятность наступления m событий в определённый период времени не зависит от того, сколько событий наступило в предыдущий период.
Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона
Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:
математическое ожидание 
;
стандартное отклонение 
;
дисперсия 
.
Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel
Вероятность распределения Пуассона P(m) и значения интегральной функции F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).
MS Excel требует ввести следующие данные:
- x - число событий m;
- среднее;
- интегральная - логическое значение: 0 - если нужно вычислить вероятность P(m) и 1 - если вероятность F(m).
Решение примеров с распределением Пуассона
Пример 1. Менеджер телекоммуникационной компании
решил рассчитать вероятность того, что в некотором небольшом городе в течении пяти
минут поступят 0, 1, 2, ... вызовов. Выбраны случайные интервалы в пять минут, подсчитано
число вызовов в каждый их интервалов и рассчитано среднее число вызовов:
.
Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.
Решение. По формуле Пуассона получаем:
Тот же результат получим, используя функцию MS Excel ПУАССОН.РАСП (значение интегральной величины - 0):
P(6) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 0) = 0,1398.
Вычислим вероятность того, что в течение пяти минут поступят не более 6 вызовов (значение интегральной величины - 1):
P(≤6) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 1) = 0,7908.
Решить пример самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 2. Производитель отправил в некоторый город 1000 проверенных, то есть исправных телевизоров. Вероятность того, что при транспортировке телевизор выйдет из строя, равна 0,003. То есть в этом случае действует закон распределения Пуассона. Найти вероятность того, что из всех доставленных телевизоров неисправными будут: 1) два телевизора; 2) менее двух телевизоров.
Продолжаем решать примеры вместе
Пример 3. В центр звонков клиентов поступает поток звонков с интенсивностью 0,8 звонков в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) не придёт ни одного звонка; б) придёт ровно один звонок; в) придёт хотя бы один звонок.
Решение. Случайная величина X - число звонков за 2 минуты с параметром
- распределена
по закону Пуассона. У нас есть всё, чтобы вычислить
требуемые в условии задачи вероятности:
а) 
(так
как 0! = 1).
б) 
.
в) 
.
Пример 4. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, имеет интенсивность 4 состава в час. Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трёх составов.
Решение. Случайная величина X - число составов за 0,5 часа с параметром
- распределена по
закону Пуассона. Вычисляем требуемые в условии задачи вероятности:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
