"Чистая"
и прикладная математика

Дискретная случайная величина и функция её распределения

Определение дискретной случайной величины и ряд её распределения

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и в свою очередь, случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.

Кроме дискретных случайных величин существуют также непрерывные случайные величины.

Рассмотрим более подробно понятие случайной величины. На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении. Например, число мальчиков, которые родятся в Москве в ближайший день, может быть различным. Оно может быть равным нулю (не родится ни одного мальчика: родятся все девочки или вообще не будет новорождённых), одному, двум и так далее до некоторого конечного числа n. К подобным величинам относятся: масса корнеплода сахарной свеклы на участке, дальность полёта артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и так далее. Такие величины будем называть случайными. Они характеризуют все возможные результаты опыта или наблюдения с количественной стороны.

Примерами дискретных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение дня в населённом пункте, число пассажиров автобуса, число пассажиров, перевезённых московским метро за сутки и т. п.

Число значений дискретной случайной величины может быть и бесконечным, но счётным множеством. Но в любом случае их можно в каком-то порядке пронумеровать, или, более точно - установить взаимно-однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами 1, 2, 3, ..., n.

Внимание: новое, очень важное понятие теории вероятностей - закон распределения. Пусть дискретная случайная величина X может принимать n значений: . Будем считать, что они все различны (в противном случае одинаковые должны быть объединены) и расположены в возрастающем порядке. Для полной характеристики дискретной случайной величины должны быть заданы не только все её значения, но и верояности , с которыми случайная величина принимает каждое из значений, т. е. .

Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило (функция, таблица) p(x), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она пример какое-то значение или попадёт в какой-то интервал).

Наиболее просто и удобно закон распределения дискретной случайной величины задавать в виде следующей таблицы:

Значение...
Вероятность...

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. В верхней строке ряда распределения перечислены в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины (иксы), а в нижней - вероятности этих значений (p).

События являются несовместимыми и единственно возможными: они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:

.

Пример 1. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается две вещи стоимостью по 1000 руб. и одна стоимостью по 3000 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрёл один билет за 100 руб. Всего продано 50 билетов.

Решение. Интересующая нас случайная величина X может принимать три значения: - 100 руб. (если студент не выиграет, а фактически проиграет 100 руб., уплаченные им за билет), 900 руб. и 2900 руб. (фактический выигрыш уменьшается на 100 руб. - на стоимость билета). Первому результату благоприятствуют 47 случаев из 50, второму - 2, а третьему - один. Поэтому их вероятности таковы: P(X=-100)=47/50=0,94, P(X=900)=2/50=0,04, P(X=2900)=1/50=0,02.

Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Сумма выигрыша
-100
900
2900
Вероятность
0,94
0,04
0,02

Функция распределения дискретной случайной величины: построение

Ряд распределения может быть построен только для дискретной случайной величины (для недискретной он не может быть построен хотя бы потому, что множество возможных значений такой случайной величины несчётно, их нельзя перечислить в верхней строке таблицы).

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных), является функция распределения.

Функцией распределения дискретной случайной величины или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

Пример 2. Дискретная случайная величина X - число очков, выпавших при бросании игральной кости. Постоить её функцию распределения.

Решение. Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

Значение
1
2
3
4
5
6
Вероятность
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

Функция распределения F(x) имеет 6 скачков, равных по величине 1/6 (на рисунке внизу).

графическое изображение примера функции распределения дискретной случайной величины

Пример 3. В урне 6 белых шаров и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров - дискретная случайная величина X. Составить соответствующий ей закон распределения.

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности проще всего вычислисть по правилу умножения вероятностей. Получаем следующий закон распределения дискретной случайной величины:

Значение
0
1
2
3
Вероятность
1/30
3/10
1/2
1/6

Пример 4. Составить закон распределения дискретной случайной величины - числа попаданий в цель при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать пять различных значений: 1, 2, 3, 4, 5. Соответствующие им вероятности найдём по формуле Бернулли . При

n = 4,

p = 1,1,

q = 1 - p = 0,9,

m = 0, 1, 2, 3, 4

получаем

Следовательно, закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Число попаданий
0
1
2
3
4
Вероятность
0,6561
0,2916
0,0486
0,0036
0,0001

Если вероятности значений дискретной случайной величины можно определить по формуле Бернулли, то случайная величина имеет биномиальное распределение.

Если число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в этих испытаниях интересующее событие наступит именно m раз, подчиняется закону распределения Пуассона.

Функция распределения дискретной случайной величины: вычисление

Чтобы вычислить функцию распределения дискретной случайной величины F(х), требуется сложить вероятности всех тех значений, которые меньше или равны граничному значению х.

Пример 5. В таблице данные о зависимости числа расторгнутых в течение года браков от длительности брака. Найти вероятность того, что очередной расторгнутый брак имел длительность менее или равную 5 годам.

Длительность брака (лет)ЧислоВероятностьF(x)
0
10
0,002
0,002
1
80
0,013
0,015
2
177
0,029
0,044
3
209
0,035
0,079
4
307
0,051
0,130
5
335
0,056
0,186
6
358
0,060
0,246
7
413
0,069
0,314
8
432
0,072
0,386
9
402
0,067
0,453
10 и более
3287
0,547
1,000
Всего
6010
1

Решение. Вероятности вычислены путём деления числа соответствующих расторгнутых браков на общее число 6010. Вероятность того, что очередной расторгнутый брак был длительностью в 5 лет, равна 0,056. Вероятность, что длительность очередного расторгнутого брака меньше или равна 5 годам, равна 0,186. Мы получили её, прибавив к значению F(x) для браков с длительностью по 4 года включительно вероятность для браков с длительностью в 5 лет.

Связь закона распределения дискретной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией

Часто не все значения дискретной случайной величины известны, но известны некоторые значения или вероятности из ряда, а также математическое ожидание и (или) дисперсия случайной величины, которым посвящён отдельный урок.

Приведём здесь некоторые формулы из этого урока, которые могут выручить при составлении закона распределения дискретной случайной величины и разберём примеры решения таких задач.

Математическое ожидание дискретной случайной величины - сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

(1)

Формула дсперсии дискретной случайной величины по определению:

Часто для вычислений более удобна следующая формула дисперсии:

, (2)

где .

Пример 6. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения. Меньшее значение она принимает с вероятностью p = 0,6. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, если известно, что её математическое ожидание и дисперсия .

Решение. Вероятность того, что случайная величина примет бОльшее значение x2, равна 1 − 0,6 = 4. Используя формулу (1) математического ожидания, составим уравнение, в котором неизвестные - значения нашей дискретной случайной величины:

или

.

Используя формулу (2) дисперсии, составим другое уравнение, в котором неизвестные - также значения дискретной случайной величины:

или

.

Систему из двух полученных уравнений

решаем методом подстановки. Из первого уравнения получаем

.

Подставив это выражение во второе уравнение, после несложных преобразований получим квадратное уравнение

,

которое имеет два корня: 7/5 и −1. Первый корень не отвечает условиям задачи, так как x2 < x1. Таким образом, значения, которые может принимать дискретная случайная величина X по условиям нашего примера, равны x1 = −1 и x2 = 2.

Закон распределения дискретной случайной величины X можем представить в виде следующей таблицы:

Значение
−1
2
Вероятность
0,6
0,4

Пример 7. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения. Большее значение 3 она принимает с вероятностью p = 0,4. Кроме того, известна дисперсия дискретной случайной величины: D(X) = 6 Найти закон распределения дискретной случайной величины X.

Решение. В этом примере вероятности равны p1 = 0,6 и p2 = 0,4. Математическое ожидание обозначим μ. Из формул математического ожидания и дисперсии (1) и (2) получим систему уравнений

Возводя первое уравнение в квадрат и приравнивая к μ² выражения из обоих уравнений, получим квадратное уравнение

.

Корни этого уравнения 8 и −2. По условию задачи в качестве значения дискретной случайной величины годится только корень −2.

Получаем закон распределения дискретной случайной величины X:

Значение
−2
3
Вероятность
0,6
0,4

Пример 8. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: 1 и 6. Известна дисперсия дискретной случайной величины: D(X) = 6 Найти закон распределения дискретной случайной величины X.

Решение. Математическое ожидание обозначим μ. Получим закон распределения дискретной случайной величины, в котором пока неизвестны вероятности:

Значение
1
6
Вероятность
p
1−p

Из формул математического ожидания и дисперсии (1) и (2) получим систему уравнений

или

.

Возводя первое уравнение в квадрат и приравнивая к μ² выражения из обоих уравнений, получим квадратное уравнение

,

имеющее корни 0,4 и 0,6.

Таким образом, возможны два закона распределения дискретной случайной величины X:

Значение
1
6
Вероятность
0,4
0,6

и

Значение
1
6
Вероятность
0,6
0,4

Чтобы задание было сформулировано более полно, необходимо указать какое-либо дополнительное условие, например, что меньшему значению дискретной случайной величины соответствует меньшее, или, наоборот, большее значение вероятности.

Начало темы "Теория вероятностей"