Дискретная случайная величина и функция её распределения

Пример 1. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается две вещи стоимостью по 1000 руб. и одна стоимостью по 3000 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрёл один билет за 100 руб. Всего продано 50 билетов.

Решение. Интересующая нас случайная величина X может принимать три значения: - 100 руб. (если студент не выиграет, а фактически проиграет 100 руб., уплаченные им за билет), 900 руб. и 2900 руб. (фактический выигрыш уменьшается на 100 руб. - на стоимость билета). Первому результату благоприятствуют 47 случаев из 50, второму - 2, а третьему - один. Поэтому их вероятности таковы: P(X=-100)=47/50=0,94, P(X=900)=2/50=0,04, P(X=2900)=1/50=0,02.

Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Пример 2. Дискретная случайная величина X - число очков, выпавших при бросании игральной кости. Постоить её функцию распределения.

Решение. Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

Функция распределения F(x) имеет 6 скачков, равных по величине 1/6 (на рисунке внизу).

Пример 3. В урне 6 белых шаров и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров - дискретная случайная величина X. Составить соответствующий ей закон распределения.

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности проще всего вычислисть по правилу умножения вероятностей. Получаем следующий закон распределения дискретной случайной величины:

Пример 4. Составить закон распределения дискретной случайной величины - числа попаданий в цель при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать пять различных значений: 1, 2, 3, 4, 5. Соответствующие им вероятности найдём по формуле Бернулли . При

n = 4,

p = 1,1,

q = 1 - p = 0,9,

m = 0, 1, 2, 3, 4

получаем

Следовательно, закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Пример 5. В таблице данные о зависимости числа расторгнутых в течение года браков от длительности брака. Найти вероятность того, что очередной расторгнутый брак имел длительность менее или равную 5 годам.

Решение. Вероятности вычислены путём деления числа соответствующих расторгнутых браков на общее число 6010. Вероятность того, что очередной расторгнутый брак был длительностью в 5 лет, равна 0,056. Вероятность, что длительность очередного расторгнутого брака меньше или равна 5 годам, равна 0,186. Мы получили её, прибавив к значению F(x) для браков с длительностью по 4 года включительно вероятность для браков с длительностью в 5 лет.

Пример 6. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения. Меньшее значение она принимает с вероятностью p = 0,6. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, если известно, что её математическое ожидание и дисперсия .

Решение. Вероятность того, что случайная величина примет бОльшее значение x2, равна 1 − 0,6 = 4. Используя формулу (1) математического ожидания, составим уравнение, в котором неизвестные - значения нашей дискретной случайной величины:

или

.

Используя формулу (2) дисперсии, составим другое уравнение, в котором неизвестные - также значения дискретной случайной величины:

или

.

Систему из двух полученных уравнений

решаем методом подстановки. Из первого уравнения получаем

.

Подставив это выражение во второе уравнение, после несложных преобразований получим квадратное уравнение

,

которое имеет два корня: 7/5 и −1. Первый корень не отвечает условиям задачи, так как x2 < x1. Таким образом, значения, которые может принимать дискретная случайная величина X по условиям нашего примера, равны x1 = −1 и x2 = 2.

Закон распределения дискретной случайной величины X можем представить в виде следующей таблицы:

Пример 7. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения. Большее значение 3 она принимает с вероятностью p = 0,4. Кроме того, известна дисперсия дискретной случайной величины: D(X) = 6 Найти закон распределения дискретной случайной величины X.

Решение. В этом примере вероятности равны p1 = 0,6 и p2 = 0,4. Математическое ожидание обозначим μ. Из формул математического ожидания и дисперсии (1) и (2) получим систему уравнений

Возводя первое уравнение в квадрат и приравнивая к μ² выражения из обоих уравнений, получим квадратное уравнение

.

Корни этого уравнения 8 и −2. По условию задачи в качестве значения дискретной случайной величины годится только корень −2.

Получаем закон распределения дискретной случайной величины X:

Пример 8. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: 1 и 6. Известна дисперсия дискретной случайной величины: D(X) = 6 Найти закон распределения дискретной случайной величины X.

Решение. Математическое ожидание обозначим μ. Получим закон распределения дискретной случайной величины, в котором пока неизвестны вероятности:

Из формул математического ожидания и дисперсии (1) и (2) получим систему уравнений

или

.

Возводя первое уравнение в квадрат и приравнивая к μ² выражения из обоих уравнений, получим квадратное уравнение

,

имеющее корни 0,4 и 0,6.

Таким образом, возможны два закона распределения дискретной случайной величины X:

и

Чтобы задание было сформулировано более полно, необходимо указать какое-либо дополнительное условие, например, что меньшему значению дискретной случайной величины соответствует меньшее, или, наоборот, большее значение вероятности.