"Чистая"
и прикладная математика

Независимые повторные испытания и формула Бернулли

Формула Бернулли: теория

На этом уроке будем находить вероятность наступления события в независимых испытаниях при повторении испытаний. Испытания называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого испытания не зависит от того, какие исходы имели другие испытания. Независимые испытания могут проводиться как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления некоторого события во всех испытаниях одна и та же, во втором случае она меняется от испытания к испытанию.

Примеры независимых повторных испытаний:

  • выйдет из строя один из узлов прибора или два, три узла, причём выход из строя каждого узла не зависит от другого узла, а вероятность выхода из строя одного узла постоянна во всех испытаниях;
  • произведённая в некоторых постоянных технологических условиях деталь, или три, четыре, пять деталей, окажутся нестандартными, причём одна деталь может оказаться нестандартной независимо от любой другой детали и вероятность того, что деталь окажется нестандатной, постоянна во всех испытаниях;
  • из нескольких выстрелов по мишени один, три или четыре выстрела попадают в цель независимо от исходов других выстрелов и вероятность попадания в цель постоянна во всех испытаниях;
  • при опускании монеты автомат сработает правильно один, два или другое число раз независимо от того, какой результат имели другие опускания монеты, и вероятность того, что автомат сработает правильно, постоянна во всех испытаниях.

Эти события можно описать одной схемой. Каждое событие наступает в каждом испытании с одной и той же вероятностью, которая не изменяется, если становятся известными результаты предыдущих испытаний. Такие испытания называются независимыми, а схема называется схемой Бернулли. Предполагается, что такие испытания могут быть повторены как угодно большое количество раз.

Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит m раз, находится по формуле Бернулли:

формула бернуллли в наиболее общем виде (где q = 1 – p - вероятность того, что событие не наступит)

или

формула бернулли в альтернативной форме

Поставим задачу – найти вероятность того, что событие такого типа в n независимых испытаниях наступит m раз.


Формула Бернулли: примеры решения задач

Пример 1. Найти вероятность того, что среди взятых случайно пяти деталей две стандартные, если вероятность того, что каждая деталь окажется стандартной, равна 0,9.

Решение. Вероятность события А, состоящего в том, что взятая случайно деталь стандартна, есть p=0,9, а вероятность того, что она нестандартна, есть q=1–p=0,1. Обозначенное в условии задачи событие (обозначим его через В) наступит, если, например, первые две детали окажутся стандартными, а следующие три – нестандартными. Но событие В также наступит, если первая и третья детали окажутся стандартными, а остальные – нестандартными, или если вторая и пятая детали будут стандартными, а остальные – нестандартными. Имеются и другие возможности наступления события В. Любая из них характеризуется тем, что из пяти взятых деталей две, занимающие любые места из пяти, окажутся стандартными. Следовательно, общее число различных возможностей наступления события В равно числу возможностей размещения на пяти местах двух стандартных деталей, т.е. равно числу сочетаний из пяти элементов по два, а .

Вероятность каждой возможности по теореме умножения вероятностей равна произведению пяти множителей, из которых два, соответствующие появлению стандартных деталей, равны 0,9, а остальные три, соответствующие появлению нестандартных деталей, равны 0,1, т.е. эта вероятность составляет . Так как указанные десять возможностей являются несовместимыми событиями, по теореме сложения вероятность события В, которую обозначим вычисление вероятности по формуле бернулли пример


Пример 2. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребует какой-либо один станок из четырёх обслуживаемых им.

Решение. Используя формулу Бернулли при n=4, m=1, p=0,6 и q=1–p=0,4, получим

вычисление вероятности по формуле бернулли пример                 

Пример 3. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми автомашин, а их имеется десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день.

Решение. Автобаза будет работать нормально (событие F), если на линию выйдут или восемь (событие А), или девять (событие В), или все десять автомашин событие (событие C). По теореме сложения вероятностей,

.

Каждое слагаемое находим по формуле Бернулли. Здесь n=10, m=8; 9; 10, а p=1-0,1=0,9, так как p должно означать вероятность выхода автомашины на линию; тогда q=0,1. В результате получим

Пример 4. Пусть вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41-го размера, равна 0,25. Найти вероятность того, что из шести покупателей по крайней мере двум необходима обувь 41-го размера.

Решение. Обозначенное в условии задачи событие (обозначим его через С) состоит в том, что из шести покупателей двум, трём, четырём, пяти или шести необходима обувь 41-го размера. Применив теорему сложения вероятностей, а затем формулу Бернулли, получим ответ. Однако задача решается проще, если сначала искать вероятность не требуемого в условии задачи, а противоположного ему события . Оно состоит в том, что менее чем двум покупателям необходима обувь 41-го размера, то есть или ни одному покупателю (событие А), или только одному (событие В). Таким образом,

.

По формуле Бернулли при n=6, p=0,25, q=0,75 и m=0; 1 получим

(при подсчёте следует иметь в виду, что ). Тогда вероятность события С найдётся как вероятность события, противоположного найденному:

.