Формула Байеса: теория и примеры решения задач
Формула Байеса: теория
Следствием правила умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса, называемая также формулой гипотез.
Представим себе следующую ситуацию. До опыта о его услових можно
было сделать ряд гипотез
(в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B, а буквой
H), несовместных и образующих полную группу.
Вероятности гипотез до опыта (называемые также априорными вероятностями) заданы и равны
.
Теперь предположим, что опыт произведён и в его результате появилось событие A.
Как нужно пересмотреть вероятности гипотез с учётом этого факта?
Формула Байеса позволяет найти вероятность каждой из гипотез о том, в результате какого из событий, образующих полную систему, наступило событие A (или как часто говорят, найти апостериорные вероятности).
Поэтому формула Байеса представляет собой отношение произведения вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы к полной вероятности наступления события A с учётом всех событий системы.
То есть, по формуле Байеса вероятность, как и в самых простых случаях, вычисляется как отношение "одного ко всем":
.
Видим, что знаменатель в этой формуле - ничто иное, как полная вероятность события A, а числители для каждого отдельного случая равны первому, второму, и так далее до n-го слагаемому суммы, находящейся в знаменателе.
Формула Байеса может быть также записана в виде
.
Формула Байеса: примеры решения задач
Пример 1. Имеются три урны; в первой 3 белых шара и 1 чёрный, во второй - 2 белых шара и 3 чёрных, в третьей - три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Этот шар оказался белым. Найти послеопытные (апостериорные) вероятности того, что этот шар вынут из первой, второй, третьей урны.
Решение. Гипотезы:
- выбрана первая урна;
- выбрана вторая урна;
- выбрана третья урна.
Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности гипотез раны:
.
В результате опыта появилось событие A - из выбранной урны вынут белый шар.
Условные вероятности события A относительно каждой из гипотез:
,
,
.
Применяя формулу Байеса, находим апостериорные вероятности гипотез:
;
;
.
Пример 2. Пример с теми же лампочками, что и в примере 2. Пусть количество и качество электролампочек, поставляемых в магазины некоторого района, определены условиями примера 2. Купленная лампочка оказалась стандартной. Пользуясь формулой Байеса, найти вероятности гипотез о том, что лампочка была изготовлена на первом заводе, на втором, на третьем.
Решение. Итак, для каждой из гипотез в числителе должно быть произведение вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы, а в знаменателе - полная вероятность собыия A.
Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на первом
заводе и стандартна:
.
Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на втором
заводе и стандартна:
.
Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на третьем
заводе и стандартна:
.
Вычисляя по формуле Байеса, получаем:
- вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на первом заводе
;
- вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на втором заводе
;
- вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на третьем заводе
.
Пример 3. До опыта об его условиях можно было
сделать четыре гипотезы: ,
,
,
с
вероятностями, равными, соответственно
;
;
;
.
В результате опыта появилось событие A,
которое невозможно при гипотезах ,
и
достоверно при гипотезах
,
.
Найти апостериорные вероятности гипотез.
Решение. Условные вероятности гипотез:
;
.
По формуле Байеса получаем:
;
;
.
Пример 4. Расследуются причины авиационной
катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы: ,
,
,
.
Согласно статистике вероятности гипотез составляют
;
;
;
.
Осмотр места катастрофы выявляет, что в её ходе произошло событие A -
воспламенение горючего. Условные вероятности события A
при гипотезах ,
,
,
,
согласно той же статистике равны
;
;
;
.
Найти апостериорные вероятности гипотез.
Решение. По формуле Байеса получаем:
.
;
;
.



Решение. Обозначим события и их вероятности:



A: {в документе допущена ошибка}

Событие |
||||
0,40 |
0,04 |
0,0160 |
0,36 |
|
0,35 |
0,06 |
0,0210 |
0,47 |
|
0,25 |
0,03 |
0,0075 |
0,17 |
|
Всего |
1,00 |
- |
0,0445 |
1,00 |
По формуле Байеса находим:
Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |