Действия со степенями и корнями
Свойства степени с натуральным показателем
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:
.
Например, 
.
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:
.
Например, 
.
3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:
.
Например, 
.
4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:
.
Например, 
.
5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:
.
Например, 
.
Пример 1. Найти значение выражения
.
Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:
(степень произведения равна произведению степеней множителей),
(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание
остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются,
а основание остаётся прежним).
Теперь получим:
В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.
Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.
Степень с целым и дробным показателем
Имеют место следующие тождества:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 2. Найти значение выражения
.
Пример 3. Найти значение выражения
.
.Преобразования арифметических корней
1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных
чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей:
,
где 
(правило извлечения корня из произведения).
2. Если 
,
то 
(правило извлечения корня из дроби).
3. Если 
,
то 
(правило извлечения корня из корня).
4. Если 
,
то 
(правило возведения корня в степень).
5. Если ,
то 
,
где 
,
т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и
то же число.
6. Если 
,
то 
,
т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение
корня.
7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:
(правило умножения корней),
(правило деления корней),
.
8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При
.
9. Обратная задача - внесение множителя под знак корня. Например,
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.
а) 
,
так как 
.
Например, 
.
б)
Например,
в)
и т. д.
;
;
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
