Взаимное расположение плоскостей: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке
Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Пусть две плоскости 
и 
заданы общими уравнениями 
и 
.
Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла 
между векторами нормалей к ним
и 
.
Из определения скалярного произведения 
и из выражения в координатах длин векторов 
и 
и их скалярного произведения получим
Условие параллельности плоскостей и
эквивалентно условию коллинеарности векторов и
и заключается в пропорциональности координат этих векторов:
.
Условие перпендикулярности плоскостей и
может быть выражено равенством нулю скалярного произведения векторов нормалей к ним и :
.
Пример 1. Установить, параллельны ли две плоскости,
одна из которых задана уравнением
, а другая -
уравнением 
.
Решение. Составим уравнения коэффициентов уравнений плоскостей:
Так как 
,
то коэффициенты пропорциональны, следовательно данные две плоскости параллельны.
Пример 2. Установить, перпендикулярны ли плоскости, заданные уравнениями
и 
.
Решение. Плоскости перпендикулярны в том случае, когда векторы 
и
нормалей к ним перпендикулярны
и удовлетворяют условию равенства нулю их скалярного произведения. Так как 
,
то указанное условие выполнено и, значит, данные плоскости перпендикулярны.
Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке, точка пересечения
Необходимым и достаточным условием того, что три плоскости имеют только одну общую точку (то есть, пересекаются в этой точке), является условие неравенства нулю определителя, составленного из коэффициентов уравнений:
Это условие совпадает с условием того, что система линейных уравнений имеет одно единственное решение (пройдя по ссылке можно увидеть иллюстрацию как раз на примере плоскостей).
Решение системы общих уравнений плоскостей (если оно существует и единственное) и даёт точку пересечения трёх плоскостей.
Пример 3. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:
Решение. Сначала проверим, выполняется ли условие пересечения плоскостей в одной точке. Для этого установим, отличен ли от нуля определитель системы:
Определитель отличен от нуля, следовательно система уравнений имеет единственное решение, а, значит, три плоскости пересекаются в одной точке.
Для нахождения этой точки продолжим решать систему уравнений методом Крамера. Перенесём свободные члены в правые части уравнений:
Найдём определители при неизвестных:
Нетрудно заметить, что по формулам Крамера (определитель при неизвестной делить на определитель системы) все неизвестные оказались равными единице. Таким образом, получили точку пересечения трёх плоскостей:
(1; 1; 1).
Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.
Пример 4. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:
Решение. Проверим, пересекаются ли плоскости в одной точке. Для этого вычислим определитель системы:
Определитель равен нулю, следовательно, данные три плоскости не пересекаются в одной точке.
Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости
Пусть даны точка 
и
плоскость 
.
Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости,
имеет вид
.
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку (3, -5, 1), и параллельной плоскости
.
Решение. Подставляем в формулу, данную в теоретической сравке к этой главе, данные точки и другой плоскости. Получаем:
Последнее и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
- Плоскость
- Прямая в пространстве
- Задачи на плоскость и прямую в пространстве
- Прямая на плоскости
