ДЕЙСТВИЯ С ДРОБЯМИ: ПРАВИЛА, ПРИЁМЫ, ПРИМЕРЫ
Основное свойство дроби
Условимся считать, что под "действиями с дробями" на нашем уроке будут пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь - это дробь, обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель. Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10.
Десятичная дробь записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!
Две дроби 
и 
называются равными, если 
.
Например, 
,
так как 
Равными также являются дроби 
и 
(так как
),
и
(так как
).
Очевидно, равными являются и дроби 
и 
. Это означает,
что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число,
то получится дробь, равная данной: 
.
Это свойство называется основным свойством дроби.
Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя
дроби. Если числитель и знаменатель дроби
умножить на -1, то получим 
.
Это означает, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя.
Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:
;
.
Сокращение дробей
Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.
Пусть, например, дана дробь 
.
Числа 36 и 48 имеют наибольший общий делитель 12. Тогда
.
В общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель - взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.
Забыли, что такое простые и составные числа и чем они различаются? Сейчас узнаем заново.
Простым называется число, которое делится (нацело) на само себя и на единицу. Составным числом называется число, которое делится на само себя, единицу и минимум ещё на одно натуральное число.
Вот первые 25 простых чисел в порядке их возрастания:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.
А вот все составные числа, не превышающие 50, также в порядке их возрастания:
4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 27; 28; 30; 32; 33; 34; 35; 36; 38; 39; 40; 42; 44; 45; 46; 48; 49; 50.
На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.
Итак, сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим переменные.
Пример 1. Сократить дробь
.
Решение. Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен - 5xy в виде суммы - 2xy - 3xy, получим
Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:
.
В результате
.
Далее, изменяя знаки в числителе и знаменателе дроби, получим
Приведение дробей к общему знаменателю
Пусть даны две дроби 
и
. Они имеют разные
знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им,
причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель
дроби на 7, получим
.
Умножив числитель и знаменатель дроби
на 5, получим
.
Итак, дроби приведены к общему знаменателю:
.
Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно привести также к общему знаменателю 70:
,
и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.
Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби
и
. Рассуждая, как в
предыдущем примере, получим
,
.
Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120.
Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь
со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным
множителем. Значит 
.
Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби
на дополнительный
множитель 4, получим 
.
Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей является наименьшим возможным общим знаменателем.
На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.
Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.
Пример 2. Найти общий знаменатель дробей
и
.
Решение. Общим знаменателем данных дробей является многочлен
,
так как он делится и на 
,
и на 
.
Однако этот многочлен не единственный, который может быть общим знаменателем данных дробей.
Им может быть также многочлен 
,
и многочлен 
, и
многочлен 
и т.д.
Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный без
остатка. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем.
В нашем примере наименьший общий знаменатель равен .
Получили:
;
.
Нам удалось привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Это произошло путём
умножения числителя и знаменателя первой дроби на ,
а числителя и знаменателя второй дроби - на .
Многочлены и
называются
дополнительными множителями, соответственно для первой и для второй дроби.
Сложение и вычитание дробей
Сложение дробей определяется следующим образом:
.
Например,
.
Если b = d, то
.
Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,
.
Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают числители. Например,
.
На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.
Теперь рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.
Пример 3. Преобразовать в одну дробь выражение
.
Решение. Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Наименьший общий знаменатель:
Дополнительные множители, на которые умножаются числители дробей:
1) 6;
2) 
;
3) 
.
Результат этого умножения:
.
Далее, раскрывая скобки и выполняя тождественные преобразования, получаем
.
Умножение и деление дробей
Произведение двух дробей
и
равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению
знаменателей, т. е. 
.
Например,
.
При делении дроби на дробь числитель делимого умножается на знаменатель
делителя, а знаменатель делимого - на числитель делителя, т. е.
.
Например,
.
Свойства пропорции
1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних
членов, т. е. если
, то
.
2. Из пропорции 
вытекают следующие пропорции: 
,
,
,
то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.
3. Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, нужно
произведение крайних (средних) членов пропорции разделить на известный средний (крайний)
член пропорции:
и
.
Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей
В высшей математике это действие с дробями чаще всего применяется при интегрировании рациональных функций. Поэтому оно подробно разобрано в уроке Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
