"Чистая"
и прикладная математика

Сложение матриц: примеры, свойства, смысл

Сложение матриц: теория и примеры

Суммой (разностью) двух mn-матриц A и B называется матрица С , элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц A и B , т.е.


для суммы матриц и


для разности матриц (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., m), где – элементы матрицы А, – элементы матрицы В.

Из данного определения понятно, что разность матриц - результат, обратный сумме матриц.

Складывать и вычитать можно матрицы только одинакового размера.

Пример 1. Найти сумму и разность матриц

 и

В соответствии с определением находим:

Приведём ещё примеры сложения матриц, в которых среди элементов матриц - дроби и переменные (буквенные обозначения). Законы сложения для самых разных чисел будут попадаться один за другим при всём дальнейшем изучении высшей математики.

Пример 2. Выполнить сложение матриц

 и

.

В соответствии с определением находим:

.

Пример 3. Выполнить сложение матриц

 и

.

Приводим все пары складываемых дробей к общему знаменателю. Результат сложения первых элементов первой строки приводить к форме с целой частью не требуется. Получаем

.

Пример 4. Выполнить сложение матриц

 и

.

Производим действия, в основном описанные в предыдущих примерах. Особо заметим, что при сложении разных степеней переменной получается сумма переменной в этих степенях, т. е. многочлен (первый элемент первой строки новой матрицы). Получаем

.

Свойства сложения матриц

1. A + B = B + A (коммутативность).

2. (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность).

Кроме того, сумма матриц и их произведение связаны свойством дистрибутивности:

3. (A + B)C = AC + BC.

Экономический смысл сложения матриц

Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы

,

где - количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года.

Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчёт о продажах за второй год имеет вид матрицы того же размера . Тогда продажи за два года выражаются матрицей , получаемой по определению сложением соответствующих элементов двух матриц.

Начало темы "Матрицы"
Продолжение темы "Матрицы"
Другие темы линейной алгебры