Сложение матриц: примеры, свойства, смысл
Сложение матриц: теория и примеры
Суммой (разностью) двух mn-матриц A и B называется матрица С , элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц A и B , т.е.
для суммы матриц и
для разности матриц (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., m), где
– элементы матрицы А,
– элементы матрицы В.
Из данного определения понятно, что разность матриц - результат, обратный сумме матриц.
Складывать и вычитать можно матрицы только одинакового размера.
Пример 1. Найти сумму и разность матриц
и
В соответствии с определением находим:
Приведём ещё примеры сложения матриц, в которых среди элементов матриц - дроби и переменные (буквенные обозначения). Законы сложения для самых разных чисел будут попадаться один за другим при всём дальнейшем изучении высшей математики.
Пример 2. Выполнить сложение матриц
и
.
В соответствии с определением находим:
.
Пример 3. Выполнить сложение матриц
и
.
Приводим все пары складываемых дробей к общему знаменателю. Результат сложения
первых элементов первой строки 
приводить к форме с целой частью не требуется. Получаем
.
Пример 4. Выполнить сложение матриц
и
.
Производим действия, в основном описанные в предыдущих примерах. Особо заметим, что при сложении разных степеней переменной получается сумма переменной в этих степенях, т. е. многочлен (первый элемент первой строки новой матрицы). Получаем
.
В сочетании с умножением матрицы на число операция сложения (вычитания) матриц может образовывать различные матричные выражения, например, 5A − 3B, 4A + 2B.
Пример 5. Даны матрицы 
и
. Вычислить 5A − 3B.
Свойства сложения матриц
1. A + B = B + A (коммутативность).
2. (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность).
Кроме того, сумма матриц и их произведение связаны свойством дистрибутивности:
3. (A + B)C = AC + BC.
Экономический смысл сложения матриц
Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы
,
где 
-
количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года.
Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчёт о продажах за второй год имеет вид матрицы того же
размера 
. Тогда
продажи за два года выражаются матрицей 
,
получаемой по определению сложением соответствующих элементов двух матриц.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
