Умножение матрицы на число: примеры, свойства, смысл
Умножение матрицы на число: теория и примеры
Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение матрицы на число будет следующим:
Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы
Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим
Это был совсем простой пример умножения матрицы на число с целыми числами. Впереди также простые примеры, но уже такие, где среди множителей и элементов матриц - дроби, переменные (буквенные обозначения), ведь законы умножения действуют не только для целых чисел, так что никогда не вредно их повторить.
Пример 2. Выполнить операцию умножения матрицы A
на число α, если 
,
.
Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не забывая, что при умножении дробей числитель первой дроби умножается на числитель первой дроби и произведение записывается в числитель, а знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй дроби и произведение записывается в знаменатель. При получении второго элемента первой строки новой матрицы полученную дробь сократили на 2, это надо делать обязательно. Если возникают сложности, можно освежить в памяти действия с дробями. Получаем
Пример 3. Выполнить операцию умножения матрицы A
на число α, если 
,
.
Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не путаясь в буквенных обозначениях, не забыв оставить минус перед вторым элементом второй строки новой матрицы, и помня, что результат умножения числа на обратное ему число есть единица (первый элемент третьей строки). Получаем
.
Пример 4. Выполнить операцию умножения матрицы A
на число α, если 
,
.
Решение. Вспоминаем, что при умножении числа в степени на число в степени показатели степеней складываются. Можно, кстати, повторить действия со степенями и корнями из элементарной математики. Получаем
.
Этот пример, кроме всего прочего, наглядно демонстрирует, что действия умножения матрицы на число могут быть прочитаны (и записаны) в обратном порядке и называется это вынесением постоянного множителя перед матрицей.
В сочетании со сложением и вычитанием матриц операция умножения матрицы на число может образовывать различные матричные выражения, например, 5A − 3B, 4A + 2B.
Пример 5. Даны матрицы 
и
. Вычислить 4A + 2B.
Свойства умножения матрицы на число
(здесь A, B - матрицы, 
- числа, 1 - число единица)
1. 
2. 
3. 
4. 
Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц:
5. 
,
т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё произведение будет умножаться на число.
Экономический смысл умножения матрицы на число
Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы
,
где 
-
количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года.
Если же в течение следующего года продажа каждого вида продукции увеличилась на 20%, то для любых
i, j верно равенство 
. В этом случае
отчёт за следующий год получается как Y = 1,2X, т. е. умножением исходной матрицы A
на число 1,2.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
