"Чистая"
и прикладная математика

Умножение матрицы на число: примеры, свойства, смысл

Умножение матрицы на число: теория и примеры

Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение матрицы на число будет следующим:

Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы

Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим

Это был совсем простой пример умножения матрицы на число с целыми числами. Впереди также простые примеры, но уже такие, где среди множителей и элементов матриц - дроби, переменные (буквенные обозначения), ведь законы умножения действуют не только для целых чисел, так что никогда не вредно их повторить.

Пример 2. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не забывая, что при умножении дробей числитель первой дроби умножается на числитель первой дроби и произведение записывается в числитель, а знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй дроби и произведение записывается в знаменатель. При получении второго элемента первой строки новой матрицы полученную дробь сократили на 2, это надо делать обязательно. Получаем

Пример 3. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не путаясь в буквенных обозначениях, не забыв оставить минус перед вторым элементом второй строки новой матрицы, и помня, что результат умножения числа на обратное ему число есть единица (первый элемент третьей строки). Получаем

.

Пример 4. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Вспоминаем, что при умножении числа в степени на число в степени показатели степеней складываются. Получаем

.

Этот пример, кроме всего прочего, наглядно демонстрирует, что действия умножения матрицы на число могут быть прочитаны (и записаны) в обратном порядке и называется это вынесением постоянного множителя перед матрицей.

Свойства умножения матрицы на число

(здесь A, B - матрицы, - числа, 1 - число единица)

1.

2.

3.

4.

Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц:

5. ,

т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё произведение будет умножаться на число.

Экономический смысл умножения матрицы на число

Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы

,

где - количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года. Если же в течение следующего года продажа каждого вида продукции увеличилась на 20%, то для любых i, j верно равенство . В этом случае отчёт за следующий год получается как Y = 1,2X, т. е. умножением исходной матрицы A на число 1,2.


Начало темы "Матрицы"
Продолжение темы "Матрицы"
Другие темы линейной алгебры