Понятие матрицы

• Матрицы - что это?
• Матрицы, основные определения
• Применение матриц в математико-экономическом моделировании

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Матрицы - что это?

Матрицы в математике - один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Часто экскурс в теорию матриц начинают со слов: "Матрица - это прямоугольная таблица...". Мы начнём этот экскурс несколько с другой стороны.

Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте - ни что иное, как матрицы. Такие матрицы имеют примерно следующий вид:

Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день. Эти матрицы бывают с различным числом строк (различаются как выпущенный телефонной компанией справочник, в котором могут быть тысячи, сотни тысяч и даже миллионы строк и только что начатая Вами новая записная книжка, в которой меньше десяти строк) и столбцов (справочник должностных лиц какой-нибудь организации, в котором могут быть такие столбцы, как должность и номер кабинета и та же Ваша записная книжка, где может не быть никаких данных, кроме имени, и, таким образом, в ней только два столбца - имя и телефон).

Всякие матрицы можно складывать и умножать, а также проводить над ними другие операции, однако нет необходимости складывать и умножать телефонные справочники, от этого нет никакой пользы, к тому же можно и подвинуться рассудком.

Но очень многие матрицы можно и нужно складывать и перемножать и решать таким образом различные насущные задачи. Ниже примеры таких матриц.

Матрицы, в которых столбцы - выпуск единиц продукции того или иного вида, а строки - годы, в которых ведётся учёт выпуска этой продукции:

Можно складывать матрицы такого вида, в которых учтён выпуск аналогичной продукции различными предприятиями, чтобы получить суммарные данные по отрасли.

Или матрицы, состоящие, к примеру, из одного столбца, в которых строки - средняя себестоимость того или иного вида продукции:

Матрицы двух последних видов можно умножать, а в результате получится матрица-строка, содержащая себестоимость всех видов продукции по годам.

Матрицы, основные определения

Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется mn-матрицей (или просто матрицей) и записывается так:

       (1)

---

В матрице (1) числа называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., m;  j = 1, 2,   n).

---

Матрица называется прямоугольной, если .

---

Если же m = n , то матрица называется квадратной, а число n – её порядком.

Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A . Он обозначается символом |A|.

---

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

---

Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.

---

Матрица называется нулевой, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или .

Например,

,

---

Матрицей-строкой (или строчной) называется 1n-матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой) – m1-матрица.

---

Матрица A', которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица

Операция перехода к матрице A', транспонированной относительно матрицы A, называется транспонированием матрицы A. Для mn-матрицы транспонированной является nm-матрица.

Транспонированной относительно матрицы является матрица A, то есть

(A')' = A.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

---

Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными.

---

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.

---

Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей.

---

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица

---

Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Применение матриц в математико-экономическом моделировании

В виде матриц просто и удобно записываются структурированные данные о том или ином объекте. Матричные модели создаются не только для хранения этих структурированных данных, но и для решения различных задач с этими данными средствами линейной алгебры.

Так, известной матричной моделью экономики является модель "затраты-выпуск", внедрённая американским экономистом русского происхождения Василием Леонтьевым. Эта модель исходит из предположения, что весь производственный сектор экономики разбит на n чистых отраслей. Каждая из отраслей выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли выпускают разную продукцию. Из-за такого разделения труда между отраслями существуют межотраслевые связи, смысл которых состоит в том, что часть продукции каждой отрасли передаётся другим отраслям в качестве ресурса производства.

Объём продукции i-й отрасли (измеряемый определённой единицей измерения), которая была произведена за отчётный период, обозначается через и называется полным выпуском i-й отрасли. Выпуски удобно разместить в n-компонентную строку матрицы.

Количество единиц продукции i-й отрасли, которое необходимо затратить j-й отрасли для производства единицы своей продукции, обозначается и называется коэффициентом прямых затрат.

Коэффициенты прямых затрат , среди которых многие могут равняться нулю, удобно записать в nxn матрицу коэффициентов прямых затрат:

Матрица содержит много информации о структуре межотраслевых связей. При этом j-й столбец матрицы полностью характеризует затраты j-й отрасли для производства единицы продукции.

Матрицы оказались очень востребованной структурой данных в программировании и вообще в информационных технологиях. В частности, такие объекты, как графы, в памяти компьютера часто задаются в форме матриц смежности и матриц инцидентности. Кроме того, матрицы очень удобны для формализации многих ситуаций в бизнесе и жизни вообще, задачи на которые решаются в теории игр.

Назад<<<

Листать

Вперёд>>>