Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой
Пусть дана некоторая прямая L. Проведём через начало координат прямую n, перпендикулярно данной и назовём её нормалью к прямой L. Буквой N отметим точку, в которой нормаль пересекает прямую L. На нормали введём направление от точки O к точке N.
Обозначим через 
угол,
на которой нужно повернуть против часовой стрелки ось Ox до совмещения её положительного направления
с направлением нормали, через p длину отрезка ON.
Тогда уравнение
. (1)
будет нормальным уравнением прямой.
С помощью нормального уравнения прямой можно определить расстояние от данной точки плоскости
до прямой. Пусть 
- точка, не лежащая
на прямой, заданной нормальным уравнением. Требуется определить расстояние d от точки до прямой. Это расстояние
определяется по формуле
. (2)
Общее уравнение прямой можно привести к нормальному виду. Пусть
- общее уравнение прямой, а
- её нормальное уравнение.
Так как оба уравнения определяют одну и ту же прямую, их коэффициенты пропорциональны.
Очевидно, для получения нормального уравнения следует все члены общего уравнения умножить на
постоянный множитель 
, вычисляемый
по формуле
. (3)
В этой формуле берётся знак, противоположный знаку C в общем уравнении прямой.
Таким образом, получаем уравнение
, (4)
которое и будет нормальным уравнением прямой на плоскости.
Пример 1. Привести общее уравнение прямой
к нормальному виду.
Решение. Вычисляем нормирующий множитель:
(знак, противоположный C).
Умножаем все члены общего уравнения на нормирующий множитель и получаем:
.
Пример 2. Привести общее уравнение прямой
к нормальному виду.
Решение. Вычисляем нормирующий множитель:
(знак, противоположный C).
Умножаем все члены общего уравнения на нормирующий множитель и получаем:
.
Пример 3. Найти расстояние от точки 
до прямой 
.
Решение. Приведём данное уравнение к нормальному виду. Вычисляем нормирующий множитель:
(знак, противоположный C).
Умножаем все члены общего уравнения на нормирующий множитель и получаем нормальное уравнение:
.
По формуле (2) находим искомое расстояние:
.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
