Параметрические уравнения прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения этой прямой, имеющей вид . Примем за параметр величину, на которую можно умножить левую и правую части канонического уравнения.

Так как один из знаменателей обязательно отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра является вся ось вещественных чисел: .

Мы получим или окончательно

. (1)

Уравнения (1) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Эти уравнения допускают механическую интерпретацию. Если считать, что параметр - это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью (такое движение происходит по инерции).

Пример 1. Составить на плоскости параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .

Решение. Подставляем данные точки и направляющего вектора в (1) и получаем:

Часто в задачах требуется преобразовать параметрические уравнения прямой в другие виды уравнений, а из уравнений других видов получить параметрические уравнения прямой. Разберём несколько таких примеров. Для преобразования параметрических уравнений прямой в общее уравнение прямой сначала следует привести их к каноническому виду, а затем из канонического уравнения получить общее уравнение прямой

Пример 2. Записать уравнение прямой

в общем виде.

Решение. Сначала приводим параметрические уравнения прямой к каноническому уравнению:

Дальнейшими преобразованиями приводим уравнение к общему виду:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Несколько более сложно преобразование общего уравнения в параметрические уравнения прямой, но и для этого действия можно составить чёткий алгоритм. Сначала можно преобразовать общее уравнение в уравнение с угловым коэффициентом и найти из него координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой, придавая одной из координат произвольное значение. Когда известны координаты точки и направляющего вектора (из общего уравнения), можно записать параметрические уравнения прямой.

Пример 3. Записать уравнение прямой в виде параметрических уравнений.

Решение. Приводим общее уравнение прямой в уравнение с угловым коэффициентом:

Находим координаты некоторой точки, принадлежащей прямой. Придадим одной из координат точки произвольное значение

Из уравнения прямой с угловым коэффициентом получаем другую координату точки:

Таким образом, нам известны точка и направляющий вектор . Подставляем их данные в (1) и получаем искомые параметрические уравнения прямой:

Пример 4. Найти угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими уравнениями

Решение. Параметрические уравнения прямой сначала следует преобразовать в каноническое, затем в общее и, наконец, в уравнение с угловым коэффициентом.

Шаг 1:

Шаг 2:

Шаг 3:

Таким образом, угловой коэффициент заданной прямой:

Пример 5. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой

Решение. Cначала найдём из данных параметрических уравнений координаты вектора нормали искомой прямой. Если направляющий вектор , то . Из данного уравнения получаем