Параметрические уравнения прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения
этой прямой, имеющей вид
. Примем за параметр
величину, на которую можно
умножить левую и правую части канонического уравнения.
Так как один из знаменателей обязательно отличен от нуля, а соответствующий числитель
может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра
является вся ось вещественных чисел:
.
Мы получим или окончательно
. (1)
Уравнения (1) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Эти уравнения допускают
механическую интерпретацию. Если считать, что параметр -
это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют
закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью
(такое движение происходит по инерции).
Пример 1. Составить на плоскости параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку и
имеющей направляющий вектор
.
Решение. Подставляем данные точки и направляющего вектора в (1) и получаем:
Часто в задачах требуется преобразовать параметрические уравнения прямой в другие виды уравнений, а из уравнений других видов получить параметрические уравнения прямой. Разберём несколько таких примеров. Для преобразования параметрических уравнений прямой в общее уравнение прямой сначала следует привести их к каноническому виду, а затем из канонического уравнения получить общее уравнение прямой
Пример 2. Записать уравнение прямой
в общем виде.
Решение. Сначала приводим параметрические уравнения прямой к каноническому уравнению:
.
Дальнейшими преобразованиями приводим уравнение к общему виду:
Несколько более сложно преобразование общего уравнения в параметрические уравнения прямой, но и для этого действия можно составить чёткий алгоритм. Сначала можно преобразовать общее уравнение в уравнение с угловым коэффициентом и найти из него координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой, придавая одной из координат произвольное значение. Когда известны координаты точки и направляющего вектора (из общего уравнения), можно записать параметрические уравнения прямой.
Пример 3. Записать уравнение прямой
в виде параметрических уравнений.
Решение. Приводим общее уравнение прямой в уравнение с угловым коэффициентом:
Находим координаты некоторой точки, принадлежащей прямой. Придадим одной из координат точки произвольное значение
.
Из уравнения прямой с угловым коэффициентом получаем другую координату точки:
Таким образом, нам известны точка
и направляющий вектор
. Подставляем их данные в (1)
и получаем искомые параметрические уравнения прямой:
Пример 4. Найти угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими уравнениями
Решение. Параметрические уравнения прямой сначала следует преобразовать в каноническое, затем в общее и, наконец, в уравнение с угловым коэффициентом.
Шаг 1:
Шаг 2:
.
Шаг 3:
.
Таким образом, угловой коэффициент заданной прямой:
.
Пример 5. Составить параметрические уравнения
прямой, проходящей через точку
и перпендикулярной прямой
.
Решение. Cначала найдём из данных параметрических уравнений
координаты вектора нормали искомой прямой. Если направляющий вектор , то
. Из данного уравнения получаем
Составим общее уравнение искомой прямой по формуле :
Преобразуем полученное уравнение в уравнение с угловым коэффициентом:
.
Находим какую-либо точку, принадлежащую этой прямой. Для этого одной из координат этой точки
придадим произвольное значение . Тогда
Искомые параметрические уравнения прямой:
Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |