Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Прямая, проходящая через данную точку в направлении, заданном угловым коэффициентом
Пусть на плоскости xOy задана прямая, непараллельная оси Oy. Углом
между прямой и осью Ox
называется тот угол между прямой и положительным направлением оси, который расположен в верхней полуплоскости
(рисунок снизу, прямая обозначена красным цветом).
Если прямая параллельна оси или совпадает с нею, то угол
считается равным нулю.
Для того, чтобы составить уравнение прямой, достаточно, чтобы были заданы точка
, лежащая
на этой прямой, и угол наклона
прямой к оси Ox.
Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом в случае нашей задачи составляется по формуле
, (1)
где 
-
координаты точки 
,
- угловой коэффициент прямой.
После подстановки указанных выше величин в формулу должно получиться уравнение вида
. (2)
Пример 1. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом,
если угловой коэффициент 
и
прямая проходит через точку 
.
Решение. Используя формулу (1), получаем:
Получили уравнение вида (2).
Проверяем - подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:
Пример 2. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом,
если угол наклона прямой 
и
прямая проходит через точку 
.
Решение. Находим угловой коэффициент, то есть тангенс угла наклона прямой:
Теперь, используя формулу (1), получаем:
Получили уравнение вида (2).
Проверяем - подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:
Решая задачи контрольных работ, надо стараться сделать проверку (для себя), даже если этого не требует условие задачи.
Как видно на примерах 1 и 2, из возможности проверки верного равенства следует возможность установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом, любая точка плоскости с заданными координатами. Проиллюстрируем это следующим примером.
Пример 3. Установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом
точки
и 
.
Решение. Подставляя координаты точки 
в уравнение прямой, получаем:
.
Получили верное равенство, следовательно точка
принадлежит заданной прямой.
Подставляя координаты точки 
в уравнение прямой, получаем:
.
Получили неверное равенство, следовательно точка
не принадлежит заданной прямой.
Прямая, проходящая через две данные точки
Применяя соотношение (1), легко решить следующую задачу: составить уравнение прямой,
которая проходит через две данные точки 
и
.
В аналитической геометрии доказано, что угловой коэффициент искомой прямой можно вычислить по формуле:
. (3)
Нам остаётся лишь применять эту формулу.
Пример 4. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом,
если она проходит через точки 
и
.
Решение. По формуле (3) находим угловой коэффициент:
.
Теперь, используя формулу (1), получаем:
Итак, получили уравнение вида (2).
Проверяем - подставляем координаты точек в полученное уравнение, получаются верные равенства:
Прямая, проходящая через данную точку параллельно данной прямой
Для того, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, следует использовать следующее условие параллельности прямых.
Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны.
Следовательно, эта задача просто обращается в задачу из примера 1. В формулу (1) следует подставить угловой коэффициент заданной прямой.
Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно прямой, проведённой
через две данные точки 
и
.
Решение. Используя условия параллельности прямых. Требуется сначала найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C, а затем воспользоваться этим угловым коэффициентом. Угловой коэффициент находим по формуле (3):
.
Угловой коэффициент искомой прямой также равен -5.
Теперь остаётся лишь составить уравнение прямой по угловому коэффициенту и точке, как в примере 1:
Итак, получили уравнение вида (2).
Аналогично решается задача, если задано, что прямая перпендикулярна данной прямой. Для её решения следует воспользоваться условием перпендикулярности прямых:
для перпендикулярности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
