Решение примера 4 на тройной интеграл

Пример 4. Вычислить тройной интеграл

,

где V - пирамида, ограниченная плоскостью x + y + z = 1 и координатными плоскостями x = 0, y = 0, z = 0.

Решение. Область V аналогична области интегрирования из примера 3. Расставим пределы интегрирования. Для интеграла по переменной z нижний предел интегрирования задан однозначно: z = 0. Чтобы получить верхний предел, выразим z из x + y + z = 1. Получаем 1 − x − y. Для интеграла по переменной y нижний предел интегрирования задан однозначно: y = 0. Для получения верхнего предела выразим y из x + y + z = 1, считая при этом, что z = 0 (так как линия расположена в плоскости xOy). Получаем: 1 − x.

Сводим данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

.

Вычисляем самый внутренний интеграл - по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

.

Вычисляем средний интеграл - по переменной y. Получаем:

Наконец, вычисляем самый внешний интеграл - по переменной x:

Ответ: данный тройной интеграл равен 1/720.