"Чистая"
и прикладная математика

Вычисление поверхностных интегралов: теория и примеры

Понятие поверхностного интеграла первого рода

Поверхностный интеграл - обобщение понятия криволинейного интеграла на случаи, когда интегрирование происходит не по отрезку кривой, а по ограниченной поверхности. Как и криволинейные интегралы, поверхностные интегралы бывают первого рода и второго рода.

Поверхностный интеграл первого рода записывается в виде

,

где f(M) = f(x,y,z) – функция трёх переменных, а поверхность σ - область интегрирования этой функции. Если f(x,y,z) равна единице, то поверхностный интеграл равен площади поверхности.

Представьте себе довольно большой подсолнух с очень-очень маленькими семечками. Тогда по сумме поверхностей очень-очень маленьких семечек, расположенных на поверхности подсолнуха, можно вычислить поверхность подсолнуха - таким может быть упрощённое толкование поверхностного интеграла. Почему так?

Давайте перейдём к более формальному определению поверхностного интеграла. Поверхность σ разбита на n частей с площадями Δσ1, Δσ2, ..., Δσn. Если выбрать на каждой частичной поверхности (семечке) произвольную точку Mi с координатами (ζiηiςi,), то можно составить сумму

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности σ. Теперь будем максимально увеличивать число таких маленьких частей, а наибольший диаметр Δσi - наоборот, уменьшать. Если интегральная сумма при стремлении наибольшего из диаметров частей к нулю (то есть, как мы уже отмечали, все части очень маленькие) имеет предел, то этот предел и называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверхности σ.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сводением к двойному интегралу.

Пусть поверхность σ задана уравнением z = z(xy), её проекцией на плоскость xOy является область Dxy, при этом функция z = z(xy) и её частные производные и непрерывны в области Dxy.

Тогда

Это и есть формула, выражающая поверхностный интеграл первого рода через двойной интеграл по проекции поверхности σ на плоскость xOy.

Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где σ - часть плоскости в первом октанте.

Решение. Чертёж:

Из уравнения плоскости получаем выражение "зет": .

Тогда частные производные: , и

.

Поверхность σ является изображённым на чертеже треугольником ABC, а его проекцией на плоскость xOy - треугольником AOB, который ограничен прямыми x = 0, y = 0 и 3x + y = 6. От поверхностного интеграла перейдём к двойному интегралу и решим его:

.

Понятие поверхностного интеграла второго рода

Прежде чем перейти к определению поверхностного интеграла второго рода, требуется познакомиться с понятиями стороны поверхностей и ориентированных поверхностей.

Пусть в пространстве дана гладкая поверхность σ. На этой поверхности выберем произвольную точку M и проведём через неё вектор нормали к поверхности. Через точку M проведём также на поверхности σ произвольный контур, не имеющий общих точек с границей поверхности σ. Точку M вместе с вектором нормали будем перемещать по контуру так, чтобы вектор нормали постоянно был перпендикулярен поверхности σ. По возвращении точки M в начальное положение возможны два случая: направление вектора нормали сохранится или же поменяется на противоположное.

Если направление вектора нормали не поменяется, то поверхность σ называется двусторонней. Если же при обходе контура направление вектора нормали поменяется на противоположное, то поверхность называется односторонней. Двусторонние поверхности называются ориентированными поверхностями, односторонние - неориентированными поверхностями.

Пример односторонней поверхности - лист Мёбиуса (на рисунке выше), который можно сделать из полоски бумаги, одна сторона которой повёрнута на 180 градусов, и затем концы склеены. И вот что здесь важно: для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.

Так что будем рассматривать только двусторонние поверхности. Примеры двусторонних поверхностей - плоскости, сфера, эллипсоил, параболоид.

Положительную сторону двустороней поверхности определяет направление вектора нормали. Противоположная сторона поверхности называется отрицательной. Положительной стороной поверхности называется её верхняя сторона. Если единичные векторы нормали составляют острые углы с осью Oz, то выбрана верхняя сторона поверхности z = z(xy), если углы тупые, то нижняя сторона поверхности.

Как и в случае поверхностного интеграла первого рода, поверхность можно разбить на n частей. При формулировке понятия поверхностного интеграла первого рода в интегральной сумме присутствовали площади каждой из частей, на которые умножаются значения функции f(Mi). В случае поверхностного интеграла второго рода берутся площади не самих частей, а площади их проекций на координатные плоскости. А функцию трёх переменных для отличия от интеграла первого рода обозначим R(x,y,z). Тогда интегральная сумма запишется так:

,

где Δsi - площади упомянутых проекций частей стороны поверхности на координатную ось (пока будем считать, что на ось xOy).

При таких соглашениях и обозначениях определение поверхностного интеграла второго рода аналогично определению интеграла первого рода. А именно: поверхностным интегралом второго рода называется предел данной интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей рассматриваемой поверхности.

Записывается он так:

.

В данном случае функция R(x,y,z) интегрируема по переменным x и y, так как части поверхности проецировались на плоскость xOy.

Аналогично можно записать и два других поверхностных интеграла второго рода:

(функция P(x,y,z) интегрируема по переменным y и z, так как части поверхности проецируются на плоскость yOz),

(функция Q(x,y,z) интегрируема по переменным z и x, так как части поверхности проецируются на плоскость zOx).

Сумма этих интегралов

называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Поверхностный интеграл второго рода вычисляется путём разложения общего поверхностного интеграла второго рода на сумму поверхностных интегралов (см. окончание предыдущего параграфа) и сведением каждого из них к двойному интегралу.

Рассмотрим подробно вычисление интеграла

.

Пусть поверхность σ задана уравнением z = z(xy). Положительную сторону поверхности обозначим , отрицателную , а проекцию на плоскость xOy - Dxy.

Таким образом, получаем формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода:

.

Если выбрана отрицательная сторона поверхности, то знак интеграла меняется:

.

Аналогично вычисляются два других отдельных интеграла - слагаемых общего:

,

.

Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ - верхняя сторона части плоскости , отсечённая плоскостями y = 0 и y = 4 и находящаяся в первом октанте.

Решение. Чертёж - на рисунке сверху. По определению получаем сумму трёх двойных интегралов:

Второй интеграл равен нулю, так как плоскость σ параллельна оси Oy. Поэтому найдём первый и третий интегралы:

Остаётся лишь сложить все отдельные интегралы и получить общий поверхностный интеграл второго рода:

.

Если требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности, можно перейти к тройному интегралу, используя формулу Остроградского. Тогда, если функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) и их частные производные , , - непрерывные функции в области W, которую ограничивает замкнутая поверхность σ, то при интегрировании по внешней стороне поверхности в силе равенство

Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ - внешняя сторона поверхности конуса, образованного поверхностью и плоскостью z = 2.

Решение. Данная поверхность является поверхностью конуса с радиусом R = 2 и высотой h = 2. Это замкнутая поверхность, поэтому можно использовать формулу Остроградского. Так как P = 3x, Q = 4y, R = −z, то частные производные , , .

Переходим к тройному интегралу, который и решаем:

Больше примеров на вычисление поверхностных интегралов

Пример 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

,

где σ - боковая поверхность конуса при .

Решение. Так как частные производные , , то

Сводим данный поверхностный интеграл к двойному:

.

Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг с центром в начале координат и радиусом R = 2, поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:

Получаем следующий интеграл, который окончательно и решаем:

Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ - верхняя часть треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями.

Решение. Данный поверхностный интеграл разделим на сумму двух интегралов

, где

,

.

Чтобы вычислить интеграл I1, построим проекцию поверхности σ на плоскость yOz. Проекцией является треугольник OCB, который на плоскости yOz ограничивают прямые или , y = 0 и z = 0. Из уравнения плоскости выводится . Поэтому можем вычислить интеграл I1:

Чтобы вычислить интеграл I2, построим проекцию поверхности σ на плоскость zOx. Проекцией является треугольник AOC, который ограничивают прямые или , x = 0 и z = 0. Вычисляем:

Складываем два полученных интеграла и окончательно получаем данный поверхностный интеграл:

.

Пример 6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ - внешняя поверхность пирамиды, образованной плоскостью и координатными плоскостями.

Решение. Данный поверхностный интеграл вычислим двумя способами

1) интегрируя по каждой грани пирамиды;

2) используя формулу Остроградского.

1) Вычисление интегрированием по каждой грани пирамиды.

а) Вычислим интеграл по треугольнику ABC. Для этого разделим интеграл на сумму трёх интегралов, которые отдельно решим:

;

Складываем и получаем:

.

б) Вычислим поверхностный интеграл по треугольнику AOB, который находится в плоскости z = 0. Тогда dz = 0 и, учитывая, что нормальный вектор плоскости образует с осью Oz тупой угол, получаем

в) Треугольник AOC находится в плоскости y = 0, таким образом, dy = 0 и (нормальный вектор плоскости образует с осью Oy тупой угол) получаем

г) Осталось вычислить поверхностный интеграл по треугольнику CBO находится в плоскости x = 0, таким образом, dx = 0 и получаем

.

В результате получаем данный поверхностный интеграл второго рода:

.

2) Используя формулу Остроградского, от поверхностного интеграла по замкнутой поверхности перейдём к тройному интегралу, где W - область, ограниченная поверхностью σ. Так как P = xz, Q = 1, R = 2y, то частные производные , , .

Получаем следующее решение данного поверхностного интеграла:

В последнем примере вернёмся к вычислению поверхностного интеграла первого рода.

Пример 7. Вычислить площадь поверхности параболоида во внутренней части сферы .

Решение. Определим, при каком значении z данные поверхности пересекаются:

Значение −3 не подходит, поэтому остаётся только z = 1.

Обозначим через C часть поверхности данного параболоида во внутреней стороне сферы. Проекция поверхности C (обозначим её D) на плоскость xOy является кругом с центром в начале координат и радиусом √2, так как при z = 1 получаем уравнение окружности . Решаем поверхностный интеграл первого рода:

.

Так как

то

.

Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг, поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:

Получаем окончательное решение данного поверхностного интеграла:

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями