Вычисление поверхностных интегралов: теория и примеры
Понятие поверхностного интеграла первого рода
Поверхностный интеграл - обобщение понятия криволинейного интеграла на случаи, когда интегрирование происходит не по отрезку кривой, а по ограниченной поверхности. Как и криволинейные интегралы, поверхностные интегралы бывают первого рода и второго рода.
Поверхностный интеграл первого рода записывается в виде
,
где f(M) = f(x,y,z) – функция трёх переменных, а поверхность σ - область интегрирования этой функции. Если f(x,y,z) равна единице, то поверхностный интеграл равен площади поверхности.
Представьте себе довольно большой подсолнух с очень-очень маленькими семечками. Тогда по сумме поверхностей очень-очень маленьких семечек, расположенных на поверхности подсолнуха, можно вычислить поверхность подсолнуха - таким может быть упрощённое толкование поверхностного интеграла. Почему так?
Давайте перейдём к более формальному определению поверхностного интеграла. Поверхность σ разбита на n частей с площадями Δσ1, Δσ2, ..., Δσn. Если выбрать на каждой частичной поверхности (семечке) произвольную точку Mi с координатами (ζi, ηi, ςi,), то можно составить сумму
.
Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности σ. Теперь будем максимально увеличивать число таких маленьких частей, а наибольший диаметр Δσi - наоборот, уменьшать. Если интегральная сумма при стремлении наибольшего из диаметров частей к нулю (то есть, как мы уже отмечали, все части очень маленькие) имеет предел, то этот предел и называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверхности σ.
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сводением к двойному интегралу.
Пусть поверхность σ задана уравнением
z = z(x, y), её
проекцией на плоскость xOy является область Dxy,
при этом функция z = z(x, y)
и её частные производные 
и
непрерывны в области
Dxy.
Тогда
Это и есть формула, выражающая поверхностный интеграл первого рода через двойной интеграл по проекции поверхности σ на плоскость xOy.
Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
где σ - часть плоскости
в первом октанте.
Решение. Чертёж:
Из уравнения плоскости получаем выражение "зет": 
.
Тогда частные производные: 
,
и
.
Поверхность σ является изображённым на чертеже треугольником ABC, а его проекцией на плоскость xOy - треугольником AOB, который ограничен прямыми x = 0, y = 0 и 3x + y = 6. От поверхностного интеграла перейдём к двойному интегралу и решим его:
.
Понятие поверхностного интеграла второго рода
Прежде чем перейти к определению поверхностного интеграла второго рода, требуется познакомиться с понятиями стороны поверхностей и ориентированных поверхностей.
Пусть в пространстве дана гладкая поверхность σ. На этой поверхности выберем
произвольную точку M и проведём через неё вектор нормали 
к поверхности. Через точку M проведём также на поверхности σ произвольный контур,
не имеющий общих точек с границей поверхности σ. Точку M вместе с вектором нормали
будем перемещать по контуру так, чтобы вектор нормали постоянно был перпендикулярен поверхности
σ. По возвращении точки M в начальное положение возможны два случая: направление
вектора нормали сохранится или же поменяется на противоположное.
Если направление вектора нормали не поменяется, то поверхность σ называется двусторонней. Если же при обходе контура направление вектора нормали поменяется на противоположное, то поверхность называется односторонней. Двусторонние поверхности называются ориентированными поверхностями, односторонние - неориентированными поверхностями.
Пример односторонней поверхности - лист Мёбиуса (на рисунке выше), который можно сделать из полоски бумаги, одна сторона которой повёрнута на 180 градусов, и затем концы склеены. И вот что здесь важно: для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.
Так что будем рассматривать только двусторонние поверхности. Примеры двусторонних поверхностей - плоскости, сфера, эллипсоид, параболоид.
Положительную сторону двустороней поверхности определяет направление вектора нормали. Противоположная сторона поверхности называется отрицательной. Положительной стороной поверхности называется её верхняя сторона. Если единичные векторы нормали составляют острые углы с осью Oz, то выбрана верхняя сторона поверхности z = z(x, y), если углы тупые, то нижняя сторона поверхности.
Как и в случае поверхностного интеграла первого рода, поверхность можно разбить на n частей. При формулировке понятия поверхностного интеграла первого рода в интегральной сумме присутствовали площади каждой из частей, на которые умножаются значения функции f(Mi). В случае поверхностного интеграла второго рода берутся площади не самих частей, а площади их проекций на координатные плоскости. А функцию трёх переменных для отличия от интеграла первого рода обозначим R(x,y,z). Тогда интегральная сумма запишется так:
,
где Δsi - площади упомянутых проекций частей стороны поверхности на координатную ось (пока будем считать, что на ось xOy).
При таких соглашениях и обозначениях определение поверхностного интеграла второго рода аналогично определению интеграла первого рода. А именно: поверхностным интегралом второго рода называется предел данной интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей рассматриваемой поверхности.
Записывается он так:
.
В данном случае функция R(x,y,z) интегрируема по переменным x и y, так как части поверхности проецировались на плоскость xOy.
Аналогично можно записать и два других поверхностных интеграла второго рода:
(функция P(x,y,z) интегрируема по переменным y и z, так как части поверхности проецируются на плоскость yOz),
(функция Q(x,y,z) интегрируема по переменным z и x, так как части поверхности проецируются на плоскость zOx).
Сумма этих интегралов
называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Поверхностный интеграл второго рода вычисляется путём разложения общего поверхностного интеграла второго рода на сумму поверхностных интегралов (см. окончание предыдущего параграфа) и сведением каждого из них к двойному интегралу.
Рассмотрим подробно вычисление интеграла
.
Пусть поверхность σ задана уравнением
z = z(x, y). Положительную
сторону поверхности обозначим 
,
отрицателную 
, а проекцию
на плоскость xOy - Dxy.
Таким образом, получаем формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода:
.
Если выбрана отрицательная сторона поверхности, то знак интеграла меняется:
.
Аналогично вычисляются два других отдельных интеграла - слагаемых общего:
,
.
Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где σ - верхняя сторона части плоскости
, отсечённая
плоскостями y = 0 и y = 4
и находящаяся в первом октанте.
Решение. Чертёж - на рисунке сверху. По определению получаем сумму трёх двойных интегралов:
Второй интеграл равен нулю, так как плоскость σ параллельна оси Oy. Поэтому найдём первый и третий интегралы:
Остаётся лишь сложить все отдельные интегралы и получить общий поверхностный интеграл второго рода:
.
Если требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности,
можно перейти к тройному интегралу, используя формулу Остроградского. Тогда, если функции
P(x,y,z), Q(x,y,z)
и R(x,y,z) и их частные производные
,
,
- непрерывные функции
в области W, которую ограничивает замкнутая поверхность
σ, то при интегрировании по внешней стороне поверхности в силе
равенство
Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где σ -
внешняя сторона поверхности конуса, образованного поверхностью
и плоскостью z = 2.
Решение. Данная поверхность является поверхностью конуса с радиусом
R = 2 и высотой
h = 2. Это замкнутая поверхность, поэтому
можно использовать формулу Остроградского. Так как P = 3x,
Q = 4y, R = −z,
то частные производные 
,
,
.
Переходим к тройному интегралу, который и решаем:
Больше примеров на вычисление поверхностных интегралов
Пример 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
,
где σ -
боковая поверхность конуса 
при 
.
Решение. Так как частные производные
,
, то
Сводим данный поверхностный интеграл к двойному:
.
Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг с центром в начале координат и радиусом R = 2, поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:
Получаем следующий интеграл, который окончательно и решаем:
Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где σ -
верхняя часть треугольника, образованного пересечением плоскости 
с координатными плоскостями.
Решение. Данный поверхностный интеграл разделим на сумму двух интегралов
, где
,
.
Чтобы вычислить интеграл I1,
построим проекцию поверхности σ на плоскость yOz. Проекцией
является треугольник OCB,
который на плоскости yOz ограничивают прямые 
или 
,
y = 0 и z = 0.
Из уравнения плоскости выводится 
.
Поэтому можем вычислить интеграл I1:
Чтобы вычислить интеграл I2,
построим проекцию поверхности σ на плоскость zOx.
Проекцией является треугольник AOC, который ограничивают прямые 
или 
,
x = 0 и z = 0.
Вычисляем:
Складываем два полученных интеграла и окончательно получаем данный поверхностный интеграл:
.
Пример 6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где σ -
внешняя поверхность пирамиды, образованной плоскостью 
и координатными плоскостями.
Решение. Данный поверхностный интеграл вычислим двумя способами
1) интегрируя по каждой грани пирамиды;
2) используя формулу Остроградского.
1) Вычисление интегрированием по каждой грани пирамиды.
а) Вычислим интеграл по треугольнику ABC. Для этого разделим интеграл на сумму трёх интегралов, которые отдельно решим:
;
Складываем и получаем:
.
б) Вычислим поверхностный интеграл по треугольнику AOB, который находится в плоскости z = 0. Тогда dz = 0 и, учитывая, что нормальный вектор плоскости образует с осью Oz тупой угол, получаем
в) Треугольник AOC находится в плоскости y = 0, таким образом, dy = 0 и (нормальный вектор плоскости образует с осью Oy тупой угол) получаем
г) Осталось вычислить поверхностный интеграл по треугольнику CBO находится в плоскости x = 0, таким образом, dx = 0 и получаем
.
В результате получаем данный поверхностный интеграл второго рода:
.
2) Используя формулу Остроградского, от поверхностного интеграла по замкнутой
поверхности перейдём к тройному интегралу, где W - область,
ограниченная поверхностью σ. Так как
P = xz,
Q = 1,
R = 2y,
то частные производные 
,
,
.
Получаем следующее решение данного поверхностного интеграла:
В последнем примере вернёмся к вычислению поверхностного интеграла первого рода.
Пример 7. Вычислить площадь поверхности параболоида
во внутренней части
сферы 
.
Решение. Определим, при каком значении z данные поверхности пересекаются:
Значение −3 не подходит, поэтому остаётся только z = 1.
Обозначим через C часть поверхности данного
параболоида во внутреней стороне сферы. Проекция поверхности C
(обозначим её D) на плоскость xOy является кругом с центром
в начале координат и радиусом √2, так как при
z = 1 получаем уравнение окружности
. Решаем
поверхностный интеграл первого рода:
.
Так как
то
.
Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг, поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:
Получаем окончательное решение данного поверхностного интеграла:
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
- Вычисление двойных интегралов
- Двойные интегралы в полярных координатах
- Вычисление тройных интегралов
- Вычисление криволинейных интегралов
- Интегралы по замкнутому контуру, формула Грина
- Вычисление поверхностных интегралов
Поделиться с друзьями
