Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры
Понятие криволинейного интеграла
Криволинейные интегралы - обобщение понятия определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:
где f(x, y) - функция двух переменных, а L - кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.
Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?
Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных f(x, y) определена в точках кривой L. Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.
- Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
- В каждой части свободно выбрать точку M.
- Найти значение функции в выбранных точках.
- Значения функции умножить на
- длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода;
- проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода.
- Найти сумму всех произведений.
- Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.
Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f(x, y) по кривой AB.
Случай криволинейного интеграла
первого рода
Случай криволинейного интеграла
второго рода
Введём следующие ообозначения.
Mi(ζi; ηi) - выбранная на каждом участке точка с координатами.
fi(ζi; ηi) - значение функции f(x, y) в выбранной точке.
Δsi - длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).
Δxi - проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).
d = maxΔsi - длина самой длинной части отрезка кривой.
Криволинейные интегралы первого рода
Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:
.
Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл. Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:
.
В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B) считать началом отрезка, а какую концом, то есть
.
Криволинейные интегралы второго рода
Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:
.
В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:
.
При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции fi(ζi; ηi) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy. Тогда получим интеграл
.
На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P(x, y) и f = Q(x, y) и интегралы
,
а сумма этих интегралов
называется общим криволинейным интегралом второго рода.
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.
Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
Пусть на плоскости задана кривая y = y(x)
и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b.
Тогда в точках кривой подынтегральная функция f(x, y) = f(x, y(x))
("игрек" должен быть выражен через "икс"),
а дифференциал дуги 
и
криволинейный интеграл можно вычислить по формуле
.
Если интеграл проще интегрировать по y, то из уравнения кривой нужно выразить
x = x(y) ("икс" через "игрек"), где 
и интеграл вычисляем по формуле
.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
,
где AB - отрезок прямой между точками A(1; −1) и B(2; 1).
Решение. Составим уравнение прямой AB, используя
формулу 
(уравнение прямой,
проходящей через две данные точки A(x1; y1) и
B(x2; y2)):
.
Из уравнения прямой выразим y через x:
.
Тогда 
и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни "иксы":
Кривая дана в параметрической форме
Пусть в пространстве задана кривая
Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр
t (
)
а дифференциал дуги 
,
поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле
Аналогично, если на плоскости задана кривая
,
то криволинейный интеграл вычисляется по формуле
.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L - часть линии окружности
,
находящаяся в первом октанте.
Решение. Данная кривая - четверть линии окружности, расположенная в плоскости
z = 3. Она соответствует значениям параметра
. Так как
,
то дифференциал дуги
Подынтегральную функцию выразим через параметр t:
.
Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t, можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.
Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции "игрек", выраженной через "икс":
y = y(x) и дуге кривой AB
соответствует изменение x от a до
b. Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение "игрека" через
"икс" и определим дифференциал этого выражения "игрека" по "иксу": 
.
Теперь, когда всё выражено через "икс", криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:
Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением
функции "икс", выраженной через "игрек": x = x(y),
. В этом случае формула
для вычисления интеграла следующая:
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл
, если
а) L - отрезок прямой OA, где О(0; 0), A(1; −1);
б) L - дуга параболы y = x² от О(0; 0) до A(1; −1).
Решение.
а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке - синяя). Напишем уравнение прямой и выразим "игрек" через "икс":
.
Получаем dy = dx. Решаем данный криволинейный интеграл:
б) если L - дуга параболы y = x², получим dy = 2xdx. Вычисляем интеграл:
В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.
Теорема. Если функции P(x,y),
Q(x,y) и их частные производные
, 
-
непрерывные в области D функции и в точках этой области частные
производные равны, то криволинейный интеграл 
не зависит от пути интегрирования по линии L, находящейся в
области D.
Кривая дана в параметрической форме
Пусть в пространстве дана кривая
.
Тогда
,
а в подынтегральные функции подставим
-
выражения этих функций через параметр t. Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл
,
если L - часть эллипса
отвечающая условию y ≥ 0.
Решение. Данная кривая - часть эллипса, находящаяся в плоскости
z = 2. Она соответствует значению параметра
.
Так как
,
можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:
Если дан криволинейный интеграл и L - замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина.
Больше примеров вычисления криволинейных интегралов
Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L - отрезок прямой
между точками её
пересечения с осями координат.
Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение
прямой y = 0, получим 
,
. Подставив x = 0,
получим 
,
. Таким образом, точка
пересечения с осью Ox - A(2; 0),
с осью Oy - B(0; −3).
Из уравнения прямой выразим y:
.
Поэтому
,
.
Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:
В подынтегральном выражении выделяем множитель 
,
выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем
подведение под знак дифференциала и окончательно получаем:
Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L - дуга параболы
между точками
О(0; 0) и B(2; 2).
Решение. Так как
, то
.
Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:
Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L - дуга астроиды
в первом квадранте.
Решение. В первом квадранте
. Определим дифференциал дуги:
Представляем криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычисляем его:
Пример 8. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L - первая арка циклоиды
Решение. Циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π. Определим дифференциал дуги:
Таким образом,
.
Подставим в криволинейный интеграл dl и y, выраженные через параметр t и получаем:
Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L - отрезок прямой от точки A(1; 1) до точки B(3; 5).
Решение. Составим уравнение прямой AB:
.
Из полученного уравнения прямой выразим "игрек":
Поэтому 
и теперь можем вычислить данный криволинейный интеграл:
Пример 10. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L - первая арка циклоиды
Решение. Из уравнений кривой следует
.
Так как циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π, то получаем соответствующие пределы интегрирования. Решаем данный криволинейный интеграл:
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
- Вычисление двойных интегралов
- Двойные интегралы в полярных координатах
- Вычисление тройных интегралов
- Вычисление криволинейных интегралов
- Интегралы по замкнутому контуру, формула Грина
- Вычисление поверхностных интегралов
Поделиться с друзьями
