"Чистая"
и прикладная математика

Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры

Понятие криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы - обобщение понятия определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости.

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных f(xy) определена в точках кривой L. Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

  1. Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
  2. В каждой части свободно выбрать точку M.
  3. Найти значение функции в выбранных точках.
  4. Значения функции умножить на
    • длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода;
    • проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода.
  5. Найти сумму всех произведений.
  6. Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f(xy) по кривой AB.

Случай криволинейного интеграла
первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие ообозначения.

Mi(ζiηi) - выбранная на каждом участке точка с координатами.

fi(ζiηi) - значение функции f(xy) в выбранной точке.

Δsi - длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δxi - проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔsi - длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Исходя из вышеизложенного о разделении отрезка кривой на участки, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

.

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл. Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

.

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

.

Криволинейные интегралы второго рода

Криволинейный интеграл втоого рода записывается так:

.

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

.

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции fi(ζiηi) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy. Тогда получим интеграл

.

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P(xy) и f = Q(xy) и интегралы

,

а сумма этих интегралов

называется общим криволинейным интегралом второго рода.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть на плоскости задана кривая y = y(x) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b. Тогда в точках кривой подынтегральная функция f(xy) = f(xy(x)) ("игрек" должен быть выражен через "икс"), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

.

Если интеграл проще интегрировать по y, то из уравнения кривой нужно выразить x = x(y) ("икс" через "игрек"), где и интеграл вычисляем по формуле

.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

,

где AB - отрезок прямой между точками A(1; −1) и B(2; 1).

Решение. Составим уравнение прямой AB, используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x1y1) и B(x2y2)):

.

Из уравнения прямой выразим y через x:

.

Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни "иксы":

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве задана кривая

Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Аналогично, если на плоскости задана кривая

,

то криволинейный интеграл вычисляется по формуле

.

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L - часть линии окружности

,

находящаяся в первом октанте.

Решение. Данная кривая - четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3. Она соответствует значениям параметра . Так как

,

то дифференциал дуги

Подынтегральную функцию выразим через параметр t:

.

Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t, можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции "игрек", выраженной через "икс": y = y(x) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b. Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение "игрека" через "икс" и определим дифференциал этого выражения "игрека" по "иксу": . Теперь, когда всё выражено через "икс", криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:

Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции "икс", выраженной через "игрек": x = x(y), . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

, если

а) L - отрезок прямой OA, где О(0; 0), A(1; −1);

б) L - дуга параболы y = x² от О(0; 0) до A(1; −1).

Решение.

а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке - синяя). Напишем уравнение прямой и выразим "игрек" через "икс":

.

Получаем dy = dx. Решаем данный криволинейный интеграл:

б) если L - дуга параболы y = x², получим dy = 2xdx. Вычисляем интеграл:

В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.

Теорема. Если функции P(x,y), Q(x,y) и их частные производные , - непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L, находящейся в области D.

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве дана кривая

.

Тогда

,

а в подынтегральные функции подставим

-

выражения этих функций через параметр t. Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

,

если L - часть эллипса

отвечающая условию y ≥ 0.

Решение. Данная кривая - часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2. Она соответствует значению параметра .

Так как

,

можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Если дан криволинейный интеграл и L - замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина.

Больше примеров вычисления криволинейных интегралов

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L - отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.

Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0, получим , . Подставив x = 0, получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox - A(2; 0), с осью Oy - B(0; −3).

Из уравнения прямой выразим y:

.

Поэтому

, .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:

В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем:

Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L - дуга параболы между точками О(0; 0) и B(2; 2).

Решение. Так как , то .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L - дуга астроиды

в первом квадранте.

Решение. В первом квадранте . Определим дифференциал дуги:

Представляем криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычисляем его:

Пример 8. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L - первая арка циклоиды

Решение. Циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π. Определим дифференциал дуги:

Таким образом,

.

Подставим в криволинейный интеграл dl и y, выраженные через параметр t и получаем:

Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L - отрезок прямой от точки A(1; 1) до точки B(3; 5).

Решение. Составим уравнение прямой AB:

.

Из полученного уравнения прямой выразим "игрек":

Поэтому и теперь можем вычислить данный криволинейный интеграл:

Пример 10. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L - первая арка циклоиды

Решение. Из уравнений кривой следует

.

Так как циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π, то получаем соответствующие пределы интегрирования. Решаем данный криволинейный интеграл:

Интегралы функций одной переменной

Поделиться с друзьями