Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование - замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:

Область, ограниченную контуром L обозначим D. Если функции P(x, y), Q(x, y) и их частные производные и - функции, непрерывные в области D, то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D.

Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

В примерах пригодится таблица интегралов.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

если L - контур треугольника OAB, где О(0; 0), A(1; 2) и B(1; 0). Направление обхода контура - против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.

Решение.

а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox, поэтому её уравнением будет y = 0. Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB:

Уравнением стороны BA будет x = 1. Поэтому dx = 0. Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA:

Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

Таким образом, dy = 2dx. Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO:

Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:

б) Применим формулу Грина. Так как , , то . У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.

Пример 2. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

где L - контур OAB, OB - дуга параболы y = x², от точки О(0; 0) до точки A(1; 1), AB и BO - отрезки прямых, B(0; 1).

Решение. Так как функции , , а их частные производные , , D - область, ограниченная контуром L, у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру: