"Чистая"
и прикладная математика

Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры

Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?

Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности, двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ и y = rsinφ:

.

Что представляет собой элемент площади dxdy, выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D на участки линиями окружности r = const и лучами φ = const. Рассмотрим один частичный участок (заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы φ и φ +  и линии окружности с радиусом r и r + dr. Этот криволинейный четырёхугольник можем приближенно считать прямоугольником с длиной боковой стороны dr и длиной основания rdφ. Поэтому элемент площади в полярных координатах выражается следующим образом:

dxdy = rdrdφ,

а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:

.

Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через повторные интегралы, так же, как и "обычный" двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ, а внутренний - по радиусу r.

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах - значит, как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры D.

Пределы интегрирования в повторных интегралах

При переходе от двойного интеграла в полярных координатах к повторным интегралам расстановку пределов интегрирования могут облегчить следующие закономерности.

Случай первый

Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D, область ограничена линией r = r(φ).

Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны 0 и 2π, а внутреннего интеграла - 0 и r(φ). Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Случай второй

Полюс O находится на границе области интегрирования D, ограниченного линией r = r(φ), но не является угловой точкой.

Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной осью угол α. Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и π + α, а внутреннего интеграла - 0 и r(φ). Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Случай третий

Полюс O находится на границе области интегрирования D, ограниченного линией r = r(φ), и является угловой точкой.

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D. Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β. Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β, а внутреннего интеграла - 0 и r(φ). Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Случай четвёртый

Полюс O находится вне области интегрирования D.

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D. Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β, а область D ограничивают линии r = r1(φ) и r = r2(φ). Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β, а внутреннего интеграла - r1(φ) и r2(φ). Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры

Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

,

где область D ограничена линиями , , .

Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.

Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:

.

Данные в условии линии, ограничивающие D, приводим к полярным координатам:

Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования, верные в третьем случае:

.

Вычисляем интеграл (так как повторные интегралы независимы друг от друга, каждый из них вычисляем отдельно и результаты перемножаем):

Пример 2. В повторном интеграле

перейти к полярной системе координат.

Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1, а переменная y - от параболы x² до 1. Таким образом, область интегрирования снизу ограничена параболой y = x², а сверху - прямой y = 1. Область интегирования изображена на следующем чертеже.

При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части. Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области - от 0 до прямой y = 1, в третьей области - от 0 до параболы. Точки пересечения прямой y = 1 и параболы: (1; 1) и (−1; 1). В первой точке полярный угол составляет , во второй точке он составляет . Поэтому в первой области φ меняется от от 0 до , во второй области - от 0 до , в третьей области - от до π.

Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат. Найдём уравнение прямой y = 1: или . Найдём уравнение параболы y = x² в полярной системе координат:

Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным координатам:

Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

,

где область D ограничена линией окружности .

Решение. Строим на чертеже область интегрирования.

Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0) и радиусом a. В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение следующим образом:

.

Линия окружности касается оси Oy, поэтому полярный угол в области интегрирования меняется от до . Подставим и в уравнение окружности и получим

Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:

.

Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:

Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:

В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и sinπ, и sin(−π) равны нулю. Продолжая, получаем:

Пример 4. Вычислить плоской фигуры, которую ограничивают линии , , , .

Решение. Построим заданную фигуру на следующем рисунке.

Так как фигура является частью круга, её площадь проще вычислить в полярных координатах. Данные уравнения линий перепишем в полярных координатах:

Таким образом, у нас есть всё, чтобы записать площадь фигуры в виде двойного интеграл в полярных координатах, перейти к повторному интегралу и вычислить его:

Пример 5. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

,

где область D ограничена линиями и .

Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:

.

Строим на чертеже область интегрирования.

В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:

.

В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным интегралам и вычислим интеграл:

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями