"Чистая"
и прикладная математика

Определение работы силы с помощью интеграла

Известную формулу из физики A = Fs для определения работы силы можно использовать лишь тогда, когда на тело воздействует постоянная сила, направленная по направлению движения. Однако часто требуется определить работу тогда, когда сила изменяется с пройденным путём. Например, чтобы растянуть пружину, нужно приложить силу, которая пропорциональна пройденному пути - удлиннению пружины.

Пусть тело перемещается по отрезку [ab] оси Ox, при этом проекция вектора силы на ось Ox является функцией F(x) аргумента x. Чтобы определить работу, совершённую силой, разделим отрезок [ab] на n частей точками a = x0 < x1 < x2 < ...xn = b. Таким образом, всё перемещение тела из a в b состоит из n участков пути.

Приложенная сила A будет равна сумме элементарных работ, совершённых при перемещении тела по каждому из участков пути.

Поэтому вся приложенная сила для перемещения тела по прямой будет равна пределу интегральной суммы или определённому интегралу

. (1)

Это и есть формула для определения работы силы.

Пример 1. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия её на 1 см нужна сила в 1 кг.

Решение. Сила F и перемещение S связаны по условию зависимостью F=kS, где k - постоянная. Будем выражать S в метрах, F - в килограммах. При S=0,01 F=1, то есть 1=k*0,01, откуда k=100, F=100S.

По формуле (1) определяем работу силы:

.

Пример 2. Сила F, с которой электрический заряд e1 отталкивает заряд e2 (того же знака), находящийся от него на расстоянии r, выражается формулой

,

где k - постоянная.

Вычислить работу силы F при перемещении заряда e2 из точки A1, отстоящей от e1 на расстоянии r1, в точку A2, отстоящую от e1 на расстоянии r2, полагая, что заряд e1 помещён в точке A0, принятой за начала отсчёта.

Решение. По формуле (1) вычисляем работу силы:

.

При получим

.

При получим . Последняя величина называется потенциалом поля, создаваемого зарядом e1.

Пример 3. Вычислить работу, которую нужно совершить, чтобы вытащить шарик массой 9 г из бочки, высота которой 3 м.

Решение. Из физики известно, что F=Ph, то есть . Вес шарика будет равен произведению массы на ускорение свободного падения, то есть P=gm, где g=9,8. Теперь можем вычислить работу силы:

Начало темы "Интеграл"