"Чистая"
и прикладная математика

Как найти длину дуги кривой с помощью интеграла

Задачи на вычисление длины дуги кривой - однотипные. Существуют чёткие схемы для решения таких задач по формулам, которые отличаются в зависимости от того, какими и сколькими уравнениями задана кривая. Формулы представляют собой интегралы от корня, под которым в тех или иных сочетаниях присутствуют производные функций, которыми задана кривая. Следовательно, для того, чтобы вычислять длину дуги кривой, требуется уметь вычислять производные и интегралы. При вычислении интегралов возможны типичные трудности, связанные, например, с выбором подходящей подстановки. Эти задачи будем решать в примерах к данному уроку.

Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая.

Найдём длину дуги AB этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми x = a и x = b (рисунок ниже).

чертёж, на котором показано, из чего складывается длина дуги кривой

Возьмём на дуге AB точки A, M1, M2, ..., Mi, ..., B с абсциссами x0 = a, x1, x2, ..., xi, ..., b = xn и проведём хорды AM1, M1M2, ..., Mn-1B, длины которых обозначим соответственно через Δs1, Δs2, ..., Δsn. Тогда получим ломаную AM1M2 ... Mn-1B, вписанную в дугу AB. Длина ломаной равна

.

Длиной s дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю:

.

Этот предел интегральной суммы равен определённому интегралу

(1).

Формула выше и есть формула для вычисления дуги кривой.

Пример 1. Найти длину дуги кривой , если .

Решение. Находим производную данной функции:

Используем формулу (1), подставляя найденную производную:

Производим подстановку:

Далее находим:

Ответ: длина дуги кривой равна 74.

Пример 2. Найти длину окружности .

Решение. Вычислим сначала длину четвёртой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги будет:

,

откуда находим производную функции:

Используем формулу (1) подставляя в неё производную, получаем:

Ответ: длина всей окружности равна .

Если в прямоугольных координатах уравнениями z = x(x) и y = y(x) задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

. (2)

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Найдём теперь длину дуги кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями:

В этом случае длину дуги кривой следует находить по формуле

(3).

Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

если .

Решение. Рассчитаем интервал, в котором будет меняться значение t, если :

Вычислим производные функций x и y:

Используем формулу (3):

Производим подстановку:

Окончательно находим:

.

Ответ: длина дуги кривой равна 26.

Если параметрическими уравнениями

задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

. (4)

Пример 4. Найти длину дуги винтовой линии, заданной параметрическими уравнениями

Решение. Вычислим производные функций x, y и z:

Используем формулу (4):

Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах

Пусть кривая задана в полярных координатах:

Длина её дуги вычисляется по формуле:

(5).

Пример 5. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах .

чертёж, на котором изображена кардиоида - кривая, длину которой требуется решить в задаче на длину дуги кривой

Решение. Вычислим производную функции:

.

Заданная кривая - кардиоида (рисунок выше). Так как она симметрична, вычислим только ту часть длины дуги, у которой и и умножим её на 2. Используем формулу (5):

.

Начало темы "Интеграл"