Решение примера 6 на объём тела вращения
Пример 6. Часть плоскости, ограниченной линиями
,
и
,
вращается 1) вокруг оси абсцисс (Ox); 2) вокруг оси
ординат (Oy). Вычислить объём полученного тела вращения.
Решение.
1) Объём данного тела вращения вычисляется по формуле
.
Вращающаяся часть плоскости показана на рисунке ниже.

Вычисляем объём тела вращения, применяя два раза интегрирование по частям.
.
Интегрируя по частям, вводим обозначения:
Получаем:
.
Требуется повторно интегрировать по частям. Вводим обозначения:
Окончательно получаем:
2) Объём данного тела вращения вычисляется по формуле
.
.