Решение примера 6 на объём тела вращения                                    

Пример 6. Часть плоскости, ограниченной линиями , и , вращается 1) вокруг оси абсцисс (Ox); 2) вокруг оси ординат (Oy). Вычислить объём полученного тела вращения.

Решение.

1) Объём данного тела вращения вычисляется по формуле .

Вращающаяся часть плоскости показана на рисунке ниже.

Вычисляем объём тела вращения, применяя два раза интегрирование по частям.

.

Интегрируя по частям, вводим обозначения:

Получаем:

.

Требуется повторно интегрировать по частям. Вводим обозначения:

Окончательно получаем:

2) Объём данного тела вращения вычисляется по формуле .

.