Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла
Площадь криволинейной трапеции: исходные данные и формулы
На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые называются криволинейными трапециями.
Примеры таких фигур - на рисунке ниже.
С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу - ось абсцисс (Ox), а слева и справа - некоторые прямые. Простота в том, что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).
Но здесь нас подстерегают некоторые важные нюансы, без понимания которых не решить большинство задач на это практическое приложение определённого интеграла. Учтём эти нюансы и будем во всеоружии.
Для вычисления площади фигуры нам понадобятся:
- Владение вычислением определенных интегралов и применением формулы Ньютона-Лейбница.
- Определённый интеграл от функции, задающей кривую, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху. И здесь возникает первый существенный нюанс: криволинейная трапеция может быть ограничена кривой не только сверху, но и снизу. Как действовать в этом случае? Просто, но это важно запомнить: интеграл в этом случае берётся со знаком минус.
- Пределы интегрирования a и b, которые находим из уравнений прямых, ограничивающих фигуру слева и справа: x = a, x = b, где a и b - числа.
Отдельно ещё о некоторых нюансах.
Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу) должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x).
Значения "икса" должны принадлежать отрезку [a, b]. То есть не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок, а шляпка намного шире.
Боковые отрезки могут вырождаться в точки. Если вы увидели такую фигуру на чертеже, это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси "иксов". А значит с пределами интегрирования всё в порядке.
Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле
(1).
Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле
. (2)
Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры - функции, соответственно y = f(x) и y = φ(x), то площадь такой фигуры вычисляется по формуле
. (3)
Решаем задачи вместе
Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
, осью абсцисс (Ox)
и прямыми x = 1, x = 3.
Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке [1; 3], то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1) и с применением табличного интеграла 10:
.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
,
прямой x = 1 и осью абсцисс (Ox).
Решение. Результат применения формулы (1) и табличного интеграла 7:
Если
то s = 1/2;
если
то s = 1/3, и т.д.
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
, осью абсцисс (Ox)
и прямой x = 4.
Решение. Фигура, соответствующая условию задачи - криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в
точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку 
,
по формуле (1) и с применением табличного интеграла 7 (квадратный корень представляем в виде степени) находим площадь криволинейной трапеции:
.
О том, как избавились от трёхэтажной дроби - в материале Действия с дробями, а о том, откуда на предпоследнем шаге появилось выражение x√x - в материале Действия со степенями и корнями.
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
,
,
и
находящейся в 1-й четверти.
Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры,
заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной
трапеции ABC. При вычислении площади треугольника OAB
пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC -
абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и
параболы, а C - точкой пересечения параболы с осью Ox).
Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим
(абсциссу точки A) и 
(абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично
получим 
,
(абсциссы точек
C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим (применяя к
каждому слагаемому табличный интеграл 7):
Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB,
если уравнение кривой CD 
и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.
Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек:
Площадь криволинейной
трапеции находим по формуле (1) и с применением табличного интеграла 7 (ссылки в предыдущих примерах):
.
Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
и осью
абсцисс (Ox).
Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её
площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы
и
точек пересечения
параболы с осью Ox. Следовательно,
Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс (Ox) и двумя соседними волнами синусоиды.
Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):
.
Найдём отдельно каждое слагаемое, применяя табличный интеграл 13:
.
.
Окончательно находим площадь:
.
Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой
и кривой
.
Решение. Выразим уравнения линий через игрек:
Площадь по формуле (2) получим как
,
где a и b - абсциссы точек A и B. Найдём их, решая совместно уравнения:
Отсюда
Окончательно находим площадь, применяя табличный интеграл 21:
И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).
Пример 9. Найти площадь фигуры, заключённой между параболами
и
.
Решение. Требуется вычислить площадь фигуры AmBn,
у которой боковые отрезки выродились в точки A и B пересечения парабол.
Решая совместно (как систему) уравнения парабол, находим их абсциссы: 
и
. На отрезке [-1, 5]
получаем 
.
Следовательно, по формуле (3) и, применяя табличный интеграл 7, находим площадь фигуры:
Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
и
.
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
, прямой
и осью
Ox (y=0).
Снова решаем задачи вместе
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
,
и прямыми
и
.
Решение. Так как 
на отрезке [0, 2], то, используя для нахождения площади формулу (3) и
табличный интеграл 11,
получим
Пример 13. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой
и прямой
.
Решение. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой: 
и
. Так как
на отрезке [0, 4],
то по формуле (3) и, применяя табличный интеграл 7, находим площадь фигуры:
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
