"Чистая"
и прикладная математика

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого рода: случаи определённых интегралов с бесконечным верхним или нижними пределами интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы второго рода: случаи определённых интегралов от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не существует, обращаясь в бесконечность.

Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений.

Несобственные интегралы первого рода - с бесконечными пределами

Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом

Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке от a до называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт, т.е.

.

Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся, а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла находим

Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.

В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса - не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (нижний предел интегрирования больше нуля).

Решение. Предположим сначала, что , тогда

В полученном выражении перейдём к пределу при :

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .

В первом случае, то есть при имеет место . Если , то и не существует.

Таким образом, вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .

Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница , получаем

.

Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. С помощью метода замены переменной можно получить очень полезную формулу:

Доказывать эту формулу нет необходимости, но запомнить стоит - пригодится. Итак, применяя эту формулу для нахождения первообразной получим

Итак, несобственный интеграл сходится и равен 1.

Пример 4. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Находим

.

Но не существует, т. е. данный несобственный интеграл расходится.

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке, поэтому определённый интеграл от неё на отрезке [0, b] существует при всяком b. Находим этот интеграл:

.

Находим предел этого интеграла:

.

Следовательно, по определению, находим значение данного несобственного интеграла:

.

Несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, обозначаемый символом , а именно

.

Если этот предел существует (и, значит, конечен, то есть, равен некоторому числу, а не бесконечности), то данный несобственный интеграл называется сходящимся.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом(если он сходится).

Решение. Находим предел данного интеграла:

Итак, данный несобственный интеграл сходится, а его значение равно -1/2.

Несобственные интегралы с двумя бесконечными пределами

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования, обозначаемый символом , нужно предварительно представить в виде суммы двух несобственных интегралов, один из которых с конечным верхним пределом интегрирования, другой - с конечным нижним пределом интегрирования, т.е.

.

По определению,

,

причём этот несобственный интеграл считается сходящимся, если оба предела существуют, когда a и b независимо друг от друга неограниченно возрастают по абсолютной величине.

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами представляем данный интеграл как сумму двух несобственных интегралов:

.

Преобразуем подынтегральное выражение к форме , с помощью выделения полного квадрата:

По формуле находим:

(Эта формула, которой мы воспользовались, а также другие формулы, пригодные для интегрирования дробей, приведены в уроке Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей).

Предел этого интеграла существует:

Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:

Предел этого интеграла также существует:

.

Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами:

.

Несобственные интегралы второго рода - от неограниченных функций

Пусть функция f(x) задана на отрезке от a до b и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b, в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.

Определение. Несобственным интегралом функции f(x) на отрезке от a до b называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c, если при стремлении c к b функция неограниченно возрастает, а в точке x = b функция не определена, т.е.

.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

.

Это также обобщённая формула Ньютона-Лейбница. Именно она применяется в решении задач на вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.

Пример 8. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция при неограниченно возрастает, а в точке x = 0 функция не определена, то есть, не существует. Используя обобщённую формулу Ньютона-Лейбница, получаем

(так как при x = 0 первообразная непрерывна). Итак, данный несобственный интеграл сходится и равен -3/2.

Пример 9. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке полуотрезка [0, 1]. В точке x = 1 функция обращается в бесконечность. Если взять , то на [0, c] подынтегральная функция непрерывна и, следовательно, существует интеграл.

.

Найдём предел этого интеграла:

Таким образом, несобственный интеграл сходится и его значение мы нашли.

Пример 10. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (верхний предел интегрирования больше нижнего).

Решение. Подынтегральная функция обращается в бесконечность при x = b, в остальных точках она непрерывна. Предположим сначала, что , тогда для :

В полученном выражении перейдём к пределу при :

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .

В первом случае, то есть при

.

Если , то

.

не существует.

Таким образом, вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .

Начало темы "Интеграл"
Продолжение темы "Интеграл"

Поделиться с друзьями