Интегрирование тригонометрических функций: методы и примеры
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Подынтегральное выражение можно преобразовать из произведения тригонометрических функций в сумму
Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида
(1)
Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами
(2)
(3)
(4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам
(5)
и
(6)
Решение. По формуле (2) при
имеем
Поэтому
Применяя далее формулу (5), получим
Решение. По формуле (3) при
получаем следующее
преобразование подынтегрального выражения:
Поэтому
Применяя далее формулу (6), получим
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Решение. По формуле (4) при
получаем следующее
преобразование подынтегрального выражения:
Применяя формулу (6), получим
Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента
Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.
(7)
В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.
При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен - sin x dx).
Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.
Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 - нечётный. Тогда, учитывая, что
получим
Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x. Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей - нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса - это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень - отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени - только чётные. О них - следующем абзаце.
Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы
понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей - отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе.
Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим
в виде
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим
Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим
в виде
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим
Раскроем скобки
и получим
Возвращаясь к старой переменной, получаем решение
Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:
Тогда получим
Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x. Тогда (1/2)dt = cos2x dx. Следовательно,
а
Окончательно получаем
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
.Использование метода замены переменой
Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус - в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t, но и tgx = t и ctgx = t.
Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: 
,
тогда 
. Получившееся
подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:
.
Произведём замену переменной: 
,
тогда 
. Получившееся
подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: 
,
тогда 
.
Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество
:
Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите выше, чему равно dt). Далее раскладываем подынтегральное выражение на множители и интегрируем по таблице:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
.Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:
где 
.
Тогда 
.
Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.
Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на 
,
а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на ,
а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
.
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:
Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:
Теперь получаем:
Используем подведение под знак дифференциала:
К последнему слагаемому применяем замену переменной 
,
тогда 
.
Получаем:
Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение:
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
